2012年江西省抚州市临川一中高三4月模拟数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

1、设A、B为非空集合，定义集合A*B为如图非阴影部分表示的集合，若，B={y|y=3^x，x＞0}，则A*B=（ ）

A．（0，2）
B．[0，1]∪[2，+∞）
C．（1，2]
D．[0，1]∪（2，+∞）

2. 难度：中等

设复数z₁=1+i，z₂=2+bi，若为实数，则实数b=（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

3. 难度：中等

下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若x²=1，则x=1”的否命题为：“若x²=1，则x≠1”
B．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
C．命题“存在x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x²+x+1＜0”
D．“x=-1”是“x²-5x-6=0”的必要不充分条件

4. 难度：中等

从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如图，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图，阅读程序框图，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知函数 f（x）=a^x+x-b的零点x_b∈（n，n+1）（n∈Z），其中常数a，b满足2^a=3，3^b=2，则n的值是（ ）
A．-2
B．-1
C．0
D．1

7. 难度：中等

设函数f（x）=xsinx（x∈R）在x=x处取得极值，则的值为（ ）
A．
B．2
C．
D．4

8. 难度：中等

设∠POQ=60°在OP、OQ上分别有动点A，B，若=6，△OAB的重心是G，则||的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

设点P是椭圆上一点，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF₁F₂的内心，若+=2，则该椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为S_n，则S₁₀=（ ）
A．
B．2⁹-1
C．45
D．55

二、填空题

11. 难度：中等

公差为d，各项均为正整数的等差数列中，若a₁=1，a_n=51，则n+d的最小值等于    ．

12. 难度：中等

已知曲线f（x）=alnx+bx+1在点（1，f（1））处的切线斜率为-2，且x=是y=f（x）的极值点，则a-b=    ．

13. 难度：中等

已知（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且a+a₁+a₂+…+a_n=126，那么的展开式中的常数项为    ．

14. 难度：中等

如图，已知F₁，F₂是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF₂与圆x²+y²=b²相切于点Q，且点Q为线段PF₂的中点，则椭圆C的离心率为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

（A）若不等式|x+1|-|x-4|≥a+，对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是______
（B）已知直线l：（t为参数），圆C：ρ=2cos（θ-）（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若直线l被圆C截得弦长为2，则a=______

16. 难度：中等

△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．

17. 难度：中等

第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

18. 难度：中等

已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
（Ⅰ）证明：BN⊥平面C₁NB₁；
（Ⅱ）求平面CNB₁与平面C₁NB₁所成角的余弦值；

19. 难度：中等

已知等差数列{a_n}（n∈N⁺）中，a_n+1＞a_n，a₂a₉=232，a₄+a₇=37
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若将数列{a_n}的项重新组合，得到新数列{b_n}，具体方法如下：b₁=a₁，b₂=a₂+a₃，b₃=a₄+a₅+a₆+a₇，b₄=a₈+a₉+a₁₀+…a₁₅，…，依此类推，第n项b_n由相应的{a_n}中2^n-1项的和组成，求数列{b_n-}的前n项和T_n．

20. 难度：中等

已知双曲线W：的左、右焦点分别为F₁、F₂，点N（0，b），右顶点是M，且，∠NMF₂=120°．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过点Q（0，-2）的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点H（7，0）在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．

21. 难度：中等

设函数f（x）=1-e^-x，函数（其中a∈R，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a=0时，求函数h（x）=f'（x）•g（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设n∈N^*，求证：（其中e是自然对数的底数）．