2011年江苏省盐城中学高考数学二模试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设i是虚数单位，则复数z=（1+i）•2i所对应的点落在第    象限．

2. 难度：中等

同时掷两枚质地均匀的骰子，所得的点数之和为5的概率是    ．

3. 难度：中等

为了了解初中生的身体素质，某地区随机抽取了n名学生进行跳绳测试，根据所得数据画样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右第一小组的频数是100，则n=    ．

4. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₁+a₂=6，a₂+a₃=12，S_n为数列{a_n}的前n项和，则log₂（S₂₀₁₀+2）=    ．

5. 难度：中等

已知2cos（π-x）+3cos（-x）=0，则tan2x=    ．

6. 难度：中等

如图是一个算法的流程图，最后输出的x=    ．

7. 难度：中等

设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列4组条件中所有能推得a⊥b的条件是    ．（填序号）
①a⊂α，b∥β，α⊥β；  ②a⊥α，b⊥β，α⊥β；  ③a⊂α，b⊥β，α∥β；  ④a⊥α，b∥β，α∥β．

8. 难度：中等

若x，y满足不等式组，则2x+y的取值范围是    ．

9. 难度：中等

设F为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，点A在抛物线上，O为坐标原点，若∠OFA=120°，且，则抛物线的焦点到准线的距离等于    ．

10. 难度：中等

已知P为边长为1的等边△ABC所在平面内一点，且满足，则=    ．

11. 难度：中等

如图，设矩形ABCD（AB＞AD）的周长是20，把三角形ABC沿AC折起来，AB折过去后，交DC于点F，设AB=x，则三角形ADF的面积最大时的x的值为    ．

12. 难度：中等

椭圆的左，右焦点分别为F₁，F₂，弦AB过F₁，若△ABF₂的内切圆的周长为π，A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则|y₂-y₁|=    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-x²在x=1处切线的斜率为b，若，且g（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

设a，b均为大于1的自然数，函数f（x）=a（b+sinx），g（x）=b+cosx，若存在实数m，使得f（m）=g（m），则a+b=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别为AA₁，CC₁的中点，AC⊥BC，点F在线段AB上，且AB=4AF．
（Ⅰ）求证：BC⊥C₁D；
（Ⅱ）若M为线段BE上一点，BE=4ME求证：C₁D∥平面B₁FM．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求sinA的值；
（2）设，求△ABC的面积．

17. 难度：中等

某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（单位：十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如表：

x（十万元）		1	2	…
y	1	1.5	1.8	…

（Ⅰ）求y与x之间的函数关系式；
（Ⅱ）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；
（Ⅲ）如果投入的年广告费为x，x∈[10，30]万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？

18. 难度：中等

椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，椭圆右准线与x轴交于E（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若M（2，t）（t＞0），直线x+2y-10=0上有且仅有一点P使．求以OM为直径的圆的方程；
（Ⅲ）设椭圆左、右焦点分别为F₁，F₂，过E点作不与y轴垂直的直线l与椭圆交于A，B两个不同的点（B在E，A之间）若有，求此时直线l的方程．

19. 难度：中等

设数列{a_n}（n=1，2，…）是等差数列，且公差为d，若数列{a_n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．
（Ⅰ）若a₁=4，d=2，求证：该数列是“封闭数列”；
（Ⅱ）试判断数列是否是“封闭数列”，为什么？
（Ⅲ）设S_n是数列{a_n}的前n项和，若公差d=1，a₁＞0，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使．若存在，求{a_n}的通项公式；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D，值域为B，如果存在函数x=g（t），使得函数y=f（g（t））的值域仍然是B，那么，称函数x=g（t）是函数f（x）的一个等值域变换．
（1）判断下列x=g（t）是不是f（x）的一个等值域变换？说明你的理由：（A）f（x）=2x+b，x∈R，x=t²-2t+3，t∈R；（B）f（x）=x²-x+1，x∈R，x=g（t）=2^t，t∈R；
（2）设f（x）=log₂x（x∈R⁺），g（t）=at²+2t+1，若x=g（t）是f（x）的一个等值域变换，求实数a的取值范围，并指出x=g（t）的一个定义域；
（3）设函数f（x）的定义域为D，值域为B，函数g（t）的定义域为D₁，值域为B₁，写出x=g（t）是f（x）的一个等值域变换的充分非必要条件（不必证明），并举例说明条件的不必要性．

21. 难度：中等

如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．
（1）求证：PM²=PA•PC；
（2）若⊙O的半径为2，OA=OM，求MN的长．

22. 难度：中等

已知矩阵，
（1）计算AB；
（2）若矩阵B把直线l：x+y+2=0变为直线l'，求直线l'的方程．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程：已知圆C：ρ=2cosθ，直线l：ρcosθ-ρsinθ=4，求过点C且与直线l垂直的直线的极坐标方程．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
设a，b，c均为正实数．
（Ⅰ）若a+b+c=1，求a²+b²+c²的最小值；
（Ⅱ）求证：．

25. 难度：中等

如图，在棱长为1的正方体AC₁中，E、F分别为A₁D₁和A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求平面BDD₁与平面BFC₁所成的锐二面角的余弦值；
（Ⅱ）若点P在正方形ABCD内部或其边界上，且EP∥平面BFC₁，求EP的最大值、最小值．

26. 难度：中等

某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ξ是一个随机变量，它的分布列为：P（ξ=i）=（i=1，2，…，12）；设每售出一台电冰箱，电器商获利300元．如销售不出，则每台每月需花保管费100元．问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使月平均收益最大？