2012年江苏省盐城中学高考数学三模试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知复数z满足（1-i）•z=1，则z=    ．

2. 难度：中等

命题“∀x∈R，x²≥0”的否定是    ．

3. 难度：中等

已知集合A={x|log₂x＜1}，B={x|0＜x＜c，其中c＞0}，若A=B，则c=    ．

4. 难度：中等

若数据x₁，x₂，x₃…x_n的平均数=5，方差σ²=2，则数据3x₁+1，3x₂+1，3x₃+1…，3x_n+1的方差为    ．

5. 难度：中等

设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：
①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；  ②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；  ④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β．
其中错误命题的序号是    ．

6. 难度：中等

如图，若程序框图输出的S是126，则判断框①中应为    ．

7. 难度：中等

已知数列{a_n}满足log₃a_n+1=log₃a_n+1（n∈N^*）且a₂+a₄+a₆=0，则 的值是    ．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=kx+1，其中实数k随机选自区间[-2，1]．对∀x∈[0，1]，f（x）≥0的概率是    ．

9. 难度：中等

若实数a满足a＞|t-1|-|t-2|（t∈R）恒成立，则函数f（x）=log_a（x²-5x+6）的单调减区间为    ．

10. 难度：中等

已知点p（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x²+y²-2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为    ．

11. 难度：中等

直线y=x与函数的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是    ．

12. 难度：中等

如图；在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=2，AB=6，动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆上运动，设，则m+n的取值范围是    ．

13. 难度：中等

在如图所示的数表中，第i行第j列的数记为a_i，j，且满足a_1，j=2^j-1，a_i，1=i，a_i+1，j+1=a_i，j+a_i+1，j（i，j∈N^*）；又记第3行的数3，5，8，13，22，39，…．则第3行第n个数为    ．

14. 难度：中等

如图：在△ACD，已知AC=1，延长斜边CD至B，使DB=1，又知∠DAB=30°．则CD=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知△ABC中，AC=1，∠ABC=．设∠BAC=x，记f（x）=AB．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及定义域；
（Ⅱ）设g（x）=6m•f（x）+1，求实数m，使函数g（x）的值域为（1，）．

16. 难度：中等

如图：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O、O₁分别是AC、A₁C₁的中点，E是线段D₁O上一点，且D₁E=λEO（λ≠0）．
（Ⅰ）求证：λ取不等于0的任何值时都有BO₁∥平面ACE；
（Ⅱ）λ=2时，证明：平面CDE⊥平面CD₁O．

17. 难度：中等

已知椭圆的两焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆在第一象限内的一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA，PB分别交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求P点坐标；
（Ⅱ）当直线PA经过点（1，）时，求直线AB的方程；
（Ⅲ）求证直线AB的斜率为定值．

18. 难度：中等

如图，AB是沿太湖南北方向道路，P为太湖中观光岛屿，Q为停车场，PQ=5.2km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q，已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行驶，．游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M处，然后乘出租汽车到点Q（设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车）．假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租汽车的速度为66km/h．
（Ⅰ）设，问小船的速度为多少km/h时，游客甲才能和游船同时到达点Q；
（Ⅱ）设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（2+3x）-x²．
（1）求函数y=f（x）的极大值；
（2）令g（x）=f（x）+x²+（m-1）x（m为实常数），试判断函数g（x）的单调性；
（3）若对任意x∈，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0均成立，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

如果存在常数a使得数列{a_n}满足：若x是数列{a_n}中的一项，则a-x也是数列{a_n}中的一项，称数列{a_n}为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”．
（1）若数列：1，2，4，m（m＞4）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；
（2）已知有穷等差数列b_n的项数是n（n≥3），所有项之和是B，求证：数列b_n是“兑换数列”，并用n和B表示它的“兑换系数”；
（3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列{c_n}，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论并说明理由．

21. 难度：中等

已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连接DB、DE、OC．若AD=2，AE=1，求CD的长．

22. 难度：中等

变换T₁是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是M₁；变换T₂对应用的变换矩阵是．
（Ⅰ）求点P（2，1）在T₁作用下的点P'的坐标；
（Ⅱ）求函数y=x²的图象依次在T₁，T₂变换的作用下所得曲线的方程．

23. 难度：中等

求以点A（2，0）为圆心，且过点B（2，）的圆的极坐标方程．

24. 难度：中等

证明不等式：．

25. 难度：中等

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点，求异面直线NE与AM所成角的余弦值？在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．

26. 难度：中等

已知a_n=A_n¹+A_n²+A_n³+…+A_nⁿ（n∈N^*），当n≥2时，求证：
（1）；
（2）．