2013年高考数学压轴大题训练：函数与方程、不等式（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设函数f（x）=1-e^-x．
（Ⅰ）证明：当x＞-1时，f（x）≥；
（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤，求a的取值范围．

2. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-ax-1（a为实数），g（x）=lnx-x．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）求函数g（x）的极值；
（3）证明：（n∈N，n≥2）．

3. 难度：中等

已知函数f（x）=x+，h（x）=．
（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）-h（x），求F（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程㏒₄[f（x-1）-]=㏒₂h（a-x）-㏒₂h（4-x）；
（Ⅲ）试比较f（100）h（100）-与的大小．

4. 难度：中等

已知a＞0，函数f（x）=lnx-ax²，x＞0．（f（x）的图象连续不断）
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明：存在x∈（2，+∞），使；
（Ⅲ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f（α）=f（β），证明．

5. 难度：中等

设函数f（x）=x+ax²+blnx，曲线，y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线率为2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）证明：f（x）≤2x-2．

6. 难度：中等

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．
（1）讨论a=1时，函数f（x）的单调性和极值；
（2）求证：在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；
（3）是否存在实数a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

7. 难度：中等

设函数f（x）=lnx-ax²-bx．
（Ⅰ）当a=b=时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）+ax²+bx+（0＜x≤3），以其图象上任意一点P（x，y）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=0，b=-1时，方程2mf（x）=x²有唯一实数解，求正数m的值．

8. 难度：中等

已知a为实数，函数f（x）=x²-2alnx．
（1）求f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a）；
（2）若a＞0，试证明：“方程f（x）=2ax有唯一解”的充要条件是“”．

9. 难度：中等

已知a＞0，函数f（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数g（x）=，是否存在实数a≥1，使得对于任意x₁∈[0，1]，总存在x∈[0，1]，满足f（x₁）=g（x）？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a≠0）．
（1）当a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（2）在（1）的条件下，设函数φ（x）=e^2x-be^x（e为自然对数的底数），x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；
（3）令V（x）=2f（x）-x²-kx（k∈R），如果V（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（0＜x₁＜x₂）两点，且线段AB的中点为C（x，0），求证：V′（x）≠0．