2013年上海市浦东新区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若集合A={0，m}，B={1，2}，A∩B={1}，则实数m=    ．

2. 难度：中等

已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是    ．

3. 难度：中等

函数的定义域为    ．

4. 难度：中等

已知x，y∈R⁺，且x+4y=1，则x•y的最大值为    ．

5. 难度：中等

函数（x≥0）的反函数是    ．

6. 难度：中等

函数的最小正周期为    ．

7. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，有a₆+a₇+a₈=12，则此数列的前13项之和为    ．

8. 难度：中等

已知数列{a_n}是无穷等比数列，其前n项和是S_n，若a₂+a₃=2，a₃+a₄=1，则的值为    ．

9. 难度：中等

若一个圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为    cm²．

10. 难度：中等

二项式展开式中的前三项系数成等差数列，则n的值为    ．

11. 难度：中等

已知甲射手射中目标的频率为0.9，乙射手射中目标的频率为0.8，如果甲乙两射手的射击相互独立，那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的频率为    ．

12. 难度：中等

已知向量与向量，||=2，||=3，、的夹角为60°，当1≤m≤2，0≤n≤2时，|m+n|的最大值为    ．

13. 难度：中等

动点P在边长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上从B向D₁移动，点P作垂直于面BB₁D₁D的直线与正方体表面交于M，N，BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的解析式为    ．

14. 难度：中等

1，2，…，n共有n!种排列a₁，a₂，…，a_n（n≥2，n∈N^*），其中满足“对所有k=1，2，…，n都有a_k≥k-2”的不同排列有    种．

二、选择题

15. 难度：中等

已知△ABC两内角A、B的对边边长分别为a、b，则“A=B”是“acosA=bcosB”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件

16. 难度：中等

已知函数，若函数为奇函数，则实数n为（ ）
A．-
B．0
C．-
D．1

17. 难度：中等

若x₁，x₂，x₃，…，x₂₀₀₉的方差为3，则3（x₁-2），3（x₂-2），3（x₃-2），…，3（x₂₀₀₉-2）的方差为（ ）
A．3
B．9
C．18
D．27

18. 难度：中等

定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A，B，向量，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λ+（1-λ），λ∈[0，1]．若不等式|MN|≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上满足“k范围线性近似”，其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[1，2]上函数中，线性近似阀值最小的是（ ）
A．y=x²
B．
C．
D．

三、解答题

19. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=2，∠ABC=45°．
（1）求点A 到平面 A₁BC的距离；
（2）求二面角A-A₁C-B的大小．

20. 难度：中等

世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地，如图点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x，x∈[10，20]．
（1）试用x表示S，并求S的取值范围；
（2）设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为（k为正常数），求总造价T关于S的函数T=f（S）；试问如何选取|AM|的长使总造价T最低（不要求求出最低造价）．

21. 难度：中等

已知复数．
（1）若z₁•z₂∈R，求角θ；
（2）复数z₁，z₂对应的向量分别是，，存在θ使等式（λ+）•（+λ）=0成立，求实数λ的取值范围．

22. 难度：中等

定义数列{x_n}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（x_n+1-p）（x_n-p）＜0成立，那么我们称数列{x_n}为“p-摆动数列”．
（1）设a_n=2n-1，，n∈N^*，判断{a_n}、{b_n}是否为“p-摆动数列”，并说明理由；
（2）已知“p^-摆动数列”{c_n}满足c_n+1=，c₁=1，求常数p的值；
（3）设d_n=（-1）ⁿ•（2n-1），且数列{d_n}的前n项和为S_n，求证：数列{S_n}是“p-摆动数列”，并求出常数p的取值范围．

23. 难度：中等

设函数
（1）求函数y=T（sin（x））和y=sin（T（x））的解析式；
（2）是否存在非负实数a，使得aT（x）=T（ax）恒成立，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）定义T_n+1（x）=T_n（T（x）），且T₁（x）=T（x），（n∈N^*）
①当x∈[0，]时，求y=T_n（x）的解析式；
已知下面正确的命题：当x∈[，]（i∈N^*，1≤i≤2ⁿ-1）时，都有T_n（x）=T_n（-x）恒成立．
②对于给定的正整数m，若方程T_m（x）=kx恰有2^m个不同的实数根，确定k的取值范围；若将这些根从小到大排列组成数列{x_n}（1≤n≤2^m），求数列{x_n}所有2^m项的和．