2013年北京市延庆县高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|x＜1}，N={x|2^x＞1}，则M∩N=（ ）
A．∅
B．{x|x＜0}
C．{x|x＜1}
D．{x|0＜x＜1}

2. 难度：中等

命题“∀x∈R，e^x＞x”的否定是（ ）
A．∃x∈R，e^x＜
B．∀x∈R，e^x＜
C．∀x∈R，e^x≤
D．∃x∈R，e^x≤

3. 难度：中等

已知等差数列1，a，b，等比数列3，a+2，b+5，则该等差数列的公差为（ ）
A．3或-3
B．3或-1
C．3
D．-3

4. 难度：中等

已知函数f（x）=，则=（ ）
A．
B．
C．9
D．-9

5. 难度：中等

已知圆的方程为x²+y²-6x-8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．10
B．20
C．30
D．40

6. 难度：中等

已知直线l₁：ax+（a+1）y+1=0，l₂：x+ay+2=0，则“a=-2”是“l₁⊥l₂”（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（ ）

A．2
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-（a+b）x+ab+2（a＜b）的两个零点为α，β（α＜β），则实数a，b，α，β的大小关系是（ ）
A．a＜α＜β＜b
B．α＜a＜β＜b
C．a＜α＜b＜β
D．α＜a＜b＜β

二、填空题

9. 难度：中等

已知，，向量与的夹角为60°，则=    ．

10. 难度：中等

若复数z=（m²-m-2）+（m+1）i（为虚数单位）为纯虚数，其中m∈R，则m=    ．

11. 难度：中等

执行如图的程序框图，如果输入p=6，则输出的S=    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c依次是角A，B，C的对边，且b＜c．若，则角C=    ．

13. 难度：中等

设县x，y满足约束条件，若z=x²+4y²，则z的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知定义在正整数集上的函数f（n）满足以下条件：
（1）f（m+n）=f（m）+f（n）+mn，其中m，n为正整数；
（2）f（3）=6．
则f（2013）=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若，求f（x）的最小值及取得最小值时对应的x的取值．

16. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E为PA的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面EBD；
（Ⅱ）求三棱锥C-PAD的体积V_C-PAD；
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点M，满足PC⊥平面MBD，若存在，求PM的长；若不存在，说明理由．

17. 难度：中等

某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了x•46%=230人，回答问题统计结果如图表所示．

组号	分组	回答正确 的人数	回答正确的人数 占本组的概率
第1组	[15，25）	5	0.5
第2组	[25，35）	a	0.9
第3组	[35，45）	27	x
第4组	[45，55）	B	0.36
第5组	[55，65）	3	y

（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；
（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．

18. 难度：中等

已知函数（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

19. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率为．过F₁的直线交椭圆C于A，B两点，且△ABF₂的周长为8．过定点M（0，3）的直线l₁与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l₁的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG、PH为邻边的平行四边形为菱形．如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合：
（1）对任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常数L（0＜L＜1），使得对任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|φ（2x₁）-φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|．
（Ⅰ）设φ（x）=，x∈[1，2]，证明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）设φ（x）∈A，如果存在x∈（1，2），使得x=φ（2x），那么这样的x是唯一的．