2012-2013学年江苏省淮安市淮阴中学高三（下）2月综合测试数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合A={2，3}，B={1，a}，若A∩B={2}，则A∪B=    ．

2. 难度：中等

x＞1是的    条件．

3. 难度：中等

复数在复平面内对应的点位于第     象限．

4. 难度：中等

2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师2名学生组成，不同的安排方案共有    种．

5. 难度：中等

已知：圆x²+y²=9与圆x²+y²-4x+4y-1=0关于直线l对称，则直线l的方程为    ．

6. 难度：中等

有下面算法：运行相应的程序，则运行后输出的结果是    ．

7. 难度：中等

设α，β为两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
②若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直；
③若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥β；
④若m∥n，n⊥α，α∥β，则m⊥β．其中所有真命题的序号是    ．

8. 难度：中等

已知f（x）=x²-2x，则满足条件的点（x，y）所形成区域的面积为    ．

9. 难度：中等

已知函数，f（α）=-2，f（β）=0，且|α-β|的最小值为，则正数ω的值为    ．

10. 难度：中等

设M是△ABC内一点，，定义f（x）=（m，n，p），其中m，n，p分别是△MBC，△MAC，△MAB的面积，若，的取值范围是    ．

11. 难度：中等

已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为    ．

12. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为    ．

13. 难度：中等

设函数，点A表示坐标原点，点A_n（n，f（n））（n∈N^*），若向量，θ_n是与的夹角，（其中），设S_n=tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n，则S_n=    ．

14. 难度：中等

已知直线l经过椭圆的焦点并且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴相交于点M，则△MPQ面积的最大值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，tanB=3．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若a=4，求△ABC面积．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE=BC，AE⊥BE，M为CE上一点，且BM⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BC；
（2）如果点N为线段AB的中点，求证：MN∥平面ADE．

17. 难度：中等

某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元．假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y元．
（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当k=100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？

18. 难度：中等

在平面内，已知椭圆的两个焦点为F₁，F₂，椭圆的离心率为，P点是椭圆上任意一点，且|PF₁|+|PF₂|=4，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）以椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的等腰直角三角形是否存在？若存在请说明有几个、并求出直角边所在直线方程？若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=2，S₅=15，数列{b_n}满足：，，
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设T_n=b₁+b₂+…+b_n，，证明：．

20. 难度：中等

已知函数
（1）当t=5时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在t∈[0，1]，使得对任意x∈[-4，m]，不等式f（x）≤x成立，求整数m的最大值．