2013年四川省内江市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知是i虚数单位，复数的虚部是（ ）
A．i
B．-i
C．1
D．-1

2. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₄=18-a₅，则S₈=（ ）
A．54
B．68
C．72
D．90

3. 难度：中等

已知a是f（x）=的零点，若0＜x＜a，则f（x）的值满足（ ）
A．f（x）＜0
B．f（x）=0
C．f（x）＞0
D．f（x）的符号不确定

4. 难度：中等

已知函数y=f（x），x∈R，数列{a_n}的通项公式是a_n=f（n），n∈N，那么函数y=f（x）在[1，+∝）上递增”是“数列{a_n}是递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

设向量=（1，sinθ），=（3sinθ，1），且∥，则cos2θ等于（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（ ）
A．16
B．18
C．24
D．32

7. 难度：中等

已知O是坐标原点，点A（1，2），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最大值是（ ）
A．-1
B．
C．0
D．1

8. 难度：中等

在的展开式中X的幂指数为整数的项共有（ ）
A．3项
B．4项
C．5项
D．6项

9. 难度：中等

函数f（x）的图象如图，f′（x）是的导函数，则下列数值排列正确的是（ ）

A．0＜f′（1）＜f′（2）＜f（2）-f（1）
B．0＜f′（2）＜f（2）-f（1）＜f′（1）
C．0＜f′（2）＜f′（1）＜f（2）-f（1）
D．0＜f（2）-f（1）＜f′（1）＜f′（2）

10. 难度：中等

定义区间（a，b），[a，b），（a，b][a，b]的长度均为d=b-a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如（1，2）∪（3，5）的长度为d=（2-1）+（5-3）=3，用[x]表示不超过x的最大整数，记＜x＞=x-[x]，其中x∈R．设f（x）=[x]•＜x＞，g（x）=2x-[x]-2，若d₁，d₂，d₃分别表示不等式f（x）＞g（x）、方程f（x）=g（x）、不等式f（x）＜g（x）解集的长度，则当0≤x≤2012时，有（ ）
A．d₁=2，d₂=0，d₃=2010
B．d₁=1，d₂=1，d₃=2010
C．d₁=2，d₂=1，d₃=2009
D．d₁=2，d₂=2，d₃=2008

二、填空题

11. 难度：中等

已知，且，则tanα=    ．

12. 难度：中等

如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为    ．

13. 难度：中等

已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是    ．

14. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2）且当x∈[-2，0]时，f（x）=（）^x-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

设函数f（x）=|x|x+bx+c，则下列命题中正确命题的序号有   
（1）函数f（x）在R上有最小值；
（2）当b＞0时，函数在R上是单调增函数；
（3）函数f（x）的图象关于点（0，c）对称；
（4）当b＜0时，方程f（x）=0有三个不同实数根的充要重要条件是b²＞4|c|；
（5）方程f（x）=0可能有四个不同实数根．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若f（x）=cos2x+csin²（x+B），求函数f（x）的最小正周期和单增区间．

17. 难度：中等

某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）满足关系y=-x+120．
（1）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（2）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．

18. 难度：中等

已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列{}的前n项和，若T_n≤λa_n+1对∀n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

19. 难度：中等

某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组[20，25）、第2组[25，30）、第3组[30，35）、第4组[35，40）、第5组[40，45），得到的频率分布直方图如图所示：
（1）若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该市决定在这12名志愿者中随机抽取3名志愿者介绍宣传经验求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率；
（3）在（2）的条件下，若ξ表示抽出的3名志愿者中第3组的人数，求ξ的分布列和数学期望．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²-3x+lnx（a＞0）
（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）在区间上的最值；
（2）若函数f（x）在定义域内是单调函数，求a的取值范围．

21. 难度：中等

对于函数f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，则称x为
f（x）的不动点．如果函数f（x）=有且仅有两个不动点0、2．
（1）求b、c满足的关系式；
（2）若c=时，相邻两项和不为零的数列{a_n}满足=1（S_n是数列{a_n}的前n项和），求证：；
（3）在（2）的条件下，设，Tn是数列{b_n}的前n项和，求证：T₂₀₁₂-1＜ln2012＜T₂₀₁₁．