2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷01（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|3+2x-x²＞0}，N={x|x≥1}，则M∩N=（ ）
A．（3，+∞）
B．[1，3）
C．（1，3）
D．（-1，+∞）

2. 难度：中等

已知a＞0，b＞0且a≠1，则“log_ab＞0”是“（a-1）（b-1）＞0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

若复数z=1+i（i是虚数单位），则（ ）
A．2z²-2z-1=0
B．2z²-2z+1=0
C．z²-2z-2=0
D．z²-2z+2=0

4. 难度：中等

在的展开式中，x的幂的指数是整数的有（ ）
A．3项
B．4项
C．5项
D．6项

5. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数，则该函数为（ ）
A．单调递增函数，奇函数
B．单调递增函数，偶函数
C．单调递减函数，奇函数
D．单调递减函数，偶函数

7. 难度：中等

已知△ABC中，AB=AC=3，．若圆O的圆心在边BC上，且与AB和AC所在的直线都相切，则圆O的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2a的等腰三角形，俯视图是半径为a的半圆，则该几何体的表面积是（ ）

A．a²+a²
B．
C．a²
D．πa²+a²

9. 难度：中等

已知点F（-c，0）（c＞0）是双曲线的左焦点，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x²+y²=c²交于点P，且点P在抛物线y²=4cx上，则该双曲线的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为弧AB上且与A，B不重合的一个动点，，若u=x+λy，（λ＞0）存在最大值，则λ的取值范围为（ ）

A．
B．（1，3）
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为    ．

12. 难度：中等

记数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2（a_n-1），则a₂=    ．

13. 难度：中等

将6人分成3组，要求每组至少1人至多3人，则不同的分组种数是    ．

14. 难度：中等

已知A为直线l：x+y=2上一动点，若在O：x²+y²=1上存在一点B使∠OAB=30°成立，则点A的横坐标取值范围为    ．

15. 难度：中等

函数，在区间（-π，π）上单调递增，则实数φ的取值范围为    ．

16. 难度：中等

若方程lgkx=2lg（x+1）仅有一个实根，那么k的取值范围是    ．

17. 难度：中等

棱长为2的正四面体ABCD在空间直角坐标系中移动，但保持点A，B分别在x轴、y轴上移动，则原点O到直线CD的最近距离为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB．
（I）求cosB的值；
（II）若，且，求a和c的值．

19. 难度：中等

袋中共有10个大小相同的编号为1、2、3的球，其中1号球有1个，2号球有m个，3号球有n个．从袋中依次摸出2个球，已知在第一次摸出3号球的前提下，再摸出一个2号球的概率是．
（1）求m，n的值；
（2）从袋中任意摸出2个球，设得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列和 数学期望Eξ．

20. 难度：中等

如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，∠A₁AC=60°．
（Ⅰ）求侧棱AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值的大小；
（Ⅱ）已知点D满足，在直线AA₁上是否存在点P，使DP∥平面AB₁C？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知椭圆的左顶点A（-2，0），过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点A的直线l与椭圆交于点Q，与y轴交于点R，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P，求证：为定值．

22. 难度：中等

已知函数．（a∈R）
（Ⅰ）若f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若在区间（0，+∞）上，函数f（x）的图象恒在曲线y=2ae^x下方，求a的取值范围．