2013年福建省泉州市永春一中高三5月质检数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数（1+i）²的值是（ ）
A．2
B．-2
C．2i
D．-2i

2. 难度：中等

已知全集U={x∈Z||x|＜5}，集合A={-2，1，3，4}，B={0，2，4}，那么A∩∁_UB=（ ）
A．{-2，1，4}
B．{-2，1，3}
C．{0，2}
D．{-2，1，3，4}

3. 难度：中等

命题“∀x∈R，e^x＞x”的否定是（ ）
A．∃x∈R，e^x＜
B．∀x∈R，e^x＜
C．∀x∈R，e^x≤
D．∃x∈R，e^x≤

4. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（ ）
A．5
B．9
C．14
D．41

5. 难度：中等

设平面向量 =（-2，6），，若∥，则-2=（ ）
A．（4，24）
B．（-8，24）
C．（-8，12）
D．（4，-12）

6. 难度：中等

高三（1）班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知6号32号45号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是（ ）
A．3
B．12
C．16
D．19

7. 难度：中等

下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是（ ）
A．f（x）=e^x-1
B．f（x）=x+x^-1
C．f（x）=x-x^-1
D．f（x）=-|sinx|

8. 难度：中等

要得到函数y=sinx的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向右平移个单位
D．向左平移个单位

9. 难度：中等

已知A={（x，y）丨-1≤x≤1，0≤y≤2}，B{（x，y）丨≤y}．若在区域A中随机的扔一颗豆子，求该豆子落在区域B中的概率为（ ）
A．1-
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设双曲线=1（a＞0）的渐近线方程为3x±4y=0，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（ ）

A．2
B．
C．
D．

12. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D．如果∀x∈D，∃y∈D，使（C为常数）成立，则称函数f（x）在D上的均值为C，给出下列四个函数
①y=x³；
②；
③y=lnx；
④y=2sinx+1，
则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

13. 难度：中等

已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为    ．

14. 难度：中等

已知，，向量与的夹角为60°，则=    ．

15. 难度：中等

某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为400元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品    件．

16. 难度：中等

下面的数组均由三个数组成，它们是：（1，2，3）、（2，4，6）、（3，8，11）、（4，16，20）、（5，32，37）、…、（a_n，b_n，c_n），若数列{c_n}的前n项和为M_n，则M₁₀=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

	患心肺疾病	不患心肺疾病	合计
男	20	5	25
女	10	15	25
合计	30	20	50

（Ⅰ）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？
（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率；
（Ⅲ）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K²，你有多大的把握认为心肺疾病与性别有关？
下面的临界值表供参考：

P（K^2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式，其中n=a+b+c+d）

18. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（Ⅰ） 求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=0，若向量与共线，求a，b的值．

19. 难度：中等

已知复数z_n=a_n+b_n•i，其中a_n∈R，b_n∈R，n∈N^*，i是虚数单位，且，z₁=1+i．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求和：①z₁+z₂+…+z_n；②a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n．

20. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：直线A₁D⊥B₁C₁；
（Ⅱ）判断A₁B与平面ADC₁的位置关系，并证明你的结论．

21. 难度：中等

已知椭圆C：的左、右焦点分别为F₁，F₂点A在椭圆C上，=0，，，过点F₂且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）线段OF₂上是否存在点M（m，0），使得若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

若f（x）=其中a∈R
（1）当a=-2时，求函数y（x）在区间[e，e²]上的最大值；
（2）当a＞0，时，若x∈[1，+∞），恒成立，求a的取值范围．