2013年辽宁省大连市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={2，lnx}，B={x，y}，若A∩B={0}，则y的值为（ ）
A．0
B．1
C．e
D．

2. 难度：中等

设复数，则z为（ ）
A．1
B．-1
C．i
D．-i

3. 难度：中等

计算sin47°cos17°-cos47°cos73°的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

某市有400家超市，其中大型超市有40家，中型超市有120家，小型超市有240家．为了掌握各超市的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型超市数是（ ）
A．4
B．6
C．7
D．12

5. 难度：中等

已知、均为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若曲线（x-1）²+（y-2）²=4上相异两点P、Q关于直线kx-y-2=0对称，则k的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）

A．4
B．8
C．16
D．20

8. 难度：中等

已知函数的图象（部分）如图所示，则ω，φ分别为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

运行如图所示的算法框图，则输出的结果S为（ ）

A．-1
B．1
C．-2
D．2

10. 难度：中等

下列说法正确的是（ ）
A．∀x∈（0，π），均有sinx＞cos
B．命题“∃x∈R使得x²+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x²+x+1＜0”
C．“a=0”是“函数f（x）=x³+ax²+x为奇函数”的充要条件
D．∃x∈R，使得成立

11. 难度：中等

已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y²=2px（p＞0）上，若，线段AB的中点到直线的距离为1，则p的值为（ ）
A．1
B．1或3
C．2
D．2或6

12. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（3）=1，f（-2）=3，f′（x）为f（x）的导函数，已知y=f′（x）的图象如图所示，且f′（x）有且只有一个零点，若非负实数a，b满足f（2a+b）≤1，f（-a-2b）≤3，则的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为    ．

14. 难度：中等

已知双曲线C：（a＞0，b＞0），P为x轴上一动点，经过点P的直线y=2x+m（m≠0）与双曲线C有且只有一个交点，则双曲线C的离心率为    ．

15. 难度：中等

球面上有四个点P、A、B、C，若PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=1，则该球的表面积是    ．

16. 难度：中等

已知函数y=f（x）的定义域为R，且具有以下性质：①f（x）-f（-x）=0；②f（x+2）=f（2-x）；③y=f（x）在区间[0，2]上为增函数，则对于下述命题：
（Ⅰ）y=f（x）的图象关于原点对称； 
（Ⅱ）y=f（x）为周期函数，且4是一个周期；
（Ⅲ）y=f（x）在区间[2，4]上为减函数．
所有正确命题的序号为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

.已知各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1+a_n•a_n+1-a_n=0．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列前n项和S_n．

18. 难度：中等

某工厂用甲、乙两种不同工艺生产一大批同一种零件，零件尺寸均在[21，7，22.3]（单位：cm）之间的零件，把零件尺寸在[21.9，22.1）的记为一等品，尺寸在[21.8，21.9）∪[22.1，22.2）的记为二等品，尺寸在[21.7，21.8）∪[22.2，22.3]的记为三等品，现从甲、乙工艺生产的零件中各随机抽取100件产品，所得零件尺寸的频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）根据上述数据完成下列2×2列联表，根据此数据你认为选择不同的工艺与生产出一等品是否有关？

	甲工艺	乙工艺	合计
一等品
非一等品
合计

P（x^2≥k	0.05	0.01
k	3.841	6.635

附：
（Ⅱ）以上述各种产品的频率作为各种产品发生的概率，若一等品、二等品、三等品的单件利润分别为30元、20元、15元，你认为以后该工厂应该选择哪种工艺生产该种零件？请说明理由．

19. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为2，侧棱长为，D为A₁C₁中点．
（Ⅰ）求证；BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅱ）三棱锥B-AB₁D的体积．

20. 难度：中等

设离心率的椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是x轴正半轴上一点，以PF₁为直径的圆经过椭圆M短轴端点，且该圆和直线相切，过点P直线椭圆M相交于相异两点A、C．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若相异两点A、B关于x轴对称，直线BC交x轴与点Q，求Q点坐标．

21. 难度：中等

已知m∈R，函数f（x）=mx²-2e^x．
（Ⅰ）当m=2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求m的取值范围．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，已知圆上的，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．
（Ⅰ）证明：∠ACE=∠BCD；
（Ⅱ）若BE=9，CD=1，求BC的长．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为（α为参数），曲线C₂的参数方程为（β为参数），P是C₂上的点，线段OP的中点在C₁上．
（Ⅰ）求C₁和C₂的公共弦长；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求点P的一个极坐标．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知f（x）=|2x-1|+ax-5（a是常数，a∈R）
（Ⅰ）当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．
（Ⅱ）如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．