2013年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={2，lnx}，B={x，y}，若A∩B={0}，则y的值为（ ）
A．0
B．1
C．e
D．

2. 难度：中等

设复数，则z为（ ）
A．1
B．-1
C．i
D．-i

3. 难度：中等

计算sin47°cos17°-cos47°cos73°的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

展开式中的常数项为（ ）
A．-20
B．20
C．-15
D．15

5. 难度：中等

三位男同学和三位女同学站成一排，要求任何两位男同学都不相邻，则不同的排法总数为（ ）
A．720
B．144
C．36
D．12

6. 难度：中等

曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数的图象（部分）如图所示，则ω，φ分别为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1+x）=f（1-x），且x∈[0，1]时，，则方程在区间[-3，3]上的根的个数为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2

9. 难度：中等

已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y²=2px（p＞0）上，若，线段AB的中点到直线的距离为1，则p的值为（ ）
A．1
B．1或3
C．2
D．2或6

10. 难度：中等

如图是用模拟方法估计椭圆面积的程序框图，S表示估计的结果，则图中空白处应该填入（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（3）=1，f（-2）=3，f′（x）为f（x）的导函数，已知y=f′（x）的图象如图所示，且f′（x）有且只有一个零点，若非负实数a，b满足f（2a+b）≤1，f（-a-2b）≤3，则的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

等腰Rt△ACB，AB=2，．以直线AC为轴旋转一周得到一个圆锥，D为圆锥底面一点，BD⊥CD，CH⊥AD于点H，M为AB中点，则当三棱锥C-HAM的体积最大时，CD的长为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为    ．

14. 难度：中等

如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为    ．

15. 难度：中等

已知双曲线C：（a＞0，b＞0），P为x轴上一动点，经过点P的直线y=2x+m（m≠0）与双曲线C有且只有一个交点，则双曲线C的离心率为    ．

16. 难度：中等

设a∈R，对于∀x＞0，函数f（x）=（ax-1）[ln（x+1）-1]恒为非负数，则a的取值所组成的集合为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1+a_n•a_n+1-a_n=0．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列前n项和S_n．

18. 难度：中等

某工厂用甲、乙两种不同工艺生产一大批同一种零件，零件尺寸均在[21，7，22.3]（单位：cm）之间的零件，把零件尺寸在[21.9，22.1）的记为一等品，尺寸在[21.8，21.9）∪[22.1，22.2）的记为二等品，尺寸在[21.7，21.8）∪[22.2，22.3]的记为三等品，现从甲、乙工艺生产的零件中各随机抽取100件产品，所得零件尺寸的频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）根据上述数据完成下列2×2列联表，根据此数据你认为选择不同的工艺与生产出一等品是否有关？

	甲工艺	乙工艺	合计
一等品
非一等品
合计

P（x^2≥k	0.05	0.01
k	3.841	6.635

附：
（Ⅱ）以上述各种产品的频率作为各种产品发生的概率，若一等品、二等品、三等品的单件利润分别为30元、20元、15元，你认为以后该工厂应该选择哪种工艺生产该种零件？请说明理由．

19. 难度：中等

如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为a，侧棱长为，D是棱A₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求二面角A₁-AB₁-D的大小．

20. 难度：中等

设离心率的椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是x轴正半轴上一点，以PF₁为直径的圆经过椭圆M短轴端点，且该圆和直线相切，过点P的直线与椭圆M相交于相异两点A、C．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若相异两点A、B关于x轴对称，直线BC交x轴与点Q，求的取值范围．

21. 难度：中等

已知m∈R，函数f（x）=mx²-2e^x．
（Ⅰ）当m=2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）有两极值点a，b（a＜b），（ⅰ）求m的取值范围；（ⅱ）求证：-e＜f（a）＜-2．

22. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为（α为参数），曲线C₂的参数方程为（β为参数），P是C₂上的点，线段OP的中点在C₁上．
（Ⅰ）求C₁和C₂的公共弦长；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求点P的一个极坐标．

23. 难度：中等

已知f（x）=|2x-1|+ax-5（a是常数，a∈R）
①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．
②如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．