2013年上海市黄浦区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x²≥4}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

若复数z=（2-i）（a-i），（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为    ．

3. 难度：中等

若数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1（n∈N^*），则=    ．

4. 难度：中等

已知直线l₁：x+ay+6=0和l₂：（a-2）x+3y+2a=0，则l_1^∥l₂的充要条件是a=    ．

5. 难度：中等

（x+）⁹展开式中x³的系数是    ．（用数字作答）

6. 难度：中等

盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于    ．

7. 难度：中等

已知，，则tan（β-2α）等于    ．

8. 难度：中等

执行如图的程序框图，若p=15，则输出的n=    ．

9. 难度：中等

已知函数，且关于x的方程f（x）+x-a=0有且仅有两个实根，则实数a的取值范围是    ．

10. 难度：中等

已知函数的最小正周期为π，若将该函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象关于原点对称，则m的最小值为    ．

11. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点F的距离为5，该抛物线的顶点到直线MF的距离为d，则d的值为    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）满足f（2）＞f（3），若y=f^-1（x）是y=f（x）的反函数，则关于x的不等式的解集是    ．

13. 难度：中等

已知F是双曲线C：的右焦点，O是双曲线C的中心，直线y=是双曲线C的一条渐近线．以线段OF为边作正三角形MOF，若点M在双曲线C上，则m的值为    ．

14. 难度：中等

已知命题“若f（x）=m²x²，g（x）=mx²-2m，则集合”是假命题，则实数m的取值范围是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

在四边形ABCD中，=，且•=0，则四边形ABCD（ ）
A．矩形
B．菱形
C．直角梯形
D．等腰梯形

16. 难度：中等

若z=cosθ+isinθ（θ∈R，i是虚数单位），则|z-2-2i|的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

17. 难度：中等

若f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则下列结论：
①y=|f（x）|是偶函数；
②对任意的x∈R都有f（-x）+|f（x）|=0；
③y=f（-x）在（-∞，0]上单调递增；
④y=f（x）f（-x）在（-∞，0]上单调递增．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

18. 难度：中等

若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为{1，2，3，4}；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为（ ）
A．24
B．48
C．144
D．288

三、解答题

19. 难度：中等

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为线段DD₁，BD的中点．
（1）求异面直线EF与BC所成的角；
（2）求三棱锥C-B₁D₁F的体积．

20. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．
（1）若，且，求a+c的值；
（2）若，求M的取值范围．

21. 难度：中等

如图所示，ABCD是一个矩形花坛，其中AB=6米，AD=4米．现将矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求：B在AM上，D在AN上，对角线MN过C点，且矩形AMPN的面积小于150平方米．
（1）设AN长为x米，矩形AMPN的面积为S平方米，试用解析式将S表示成x的函数，并写出该函数的定义域；
（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积．

22. 难度：中等

给定椭圆C：，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为．
（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；
（2）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求的取值范围；
（3）在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点，试判断l₁，l₂是否垂直？并说明理由．

23. 难度：中等

对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“类P数对”．设函数f（x）的定义域为R⁺，且f（1）=3．
（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2ⁿ）（n∈N*）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k-|2x-3|，求f（x）在区间[1，2ⁿ）（n∈N*）上的最大值与最小值；
（3）若f（x）是增函数，且（2，-2）是f（x）的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．
①f（2^-n）与2^-n+2（n∈N*）；
②f（x）与2x+2（x∈（0，1]）．