2009年山东省淄博市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则（ ）
A．￢p：∃x∈R，cosx≥1
B．￢p：∃x∈R，cosx＜1
C．￢p：∃x∈R，cosx≤1
D．￢p：∃x∈R，cosx＞1

2. 难度：中等

若复数为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．-2
B．4
C．-6
D．6

3. 难度：中等

下列几何体各自的三视图中，至少有两个试图相同的是（ ）
A．①②③
B．①④
C．②④
D．①②④

4. 难度：中等

5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）
A．10种
B．20种
C．25种
D．32种

5. 难度：中等

若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（ ）
A．a＜5
B．a≥8
C．a＜5或a≥8
D．5≤a＜8

6. 难度：中等

过点（0，1）的直线与圆x²+y²=4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．2
B．
C．3
D．

7. 难度：中等

在三角形ABC中，A=120°，AB=5，BC=7，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知非零向量，和满足（+）•=0，且=，则三角形ABC是（ ）
A．等边三角形
B．等腰非直角三角形
C．非等腰三角形
D．等腰直角三角形

9. 难度：中等

函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=log_0.2f（x）的图象大致是（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校1000名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数b，则a、b的值分别为（ ）

A．2.7，780
B．2.7，830
C．0.27，780
D．0.27，830

12. 难度：中等

f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时f（x）=x²，若对任意的不等式f（x+t）≤2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

二项式展开式中含x²项的系数是    ．

14. 难度：中等

在如下程序图框中，输入f（x）=sinx，则输出的是   

15. 难度：中等

已知m，n是不同的直线，α与β是不重合的平面，给出下列命题：
①若m∥α，则m平行与平面α内的无数条直线
②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
④若α∥β，m⊂α，则m∥β
上面命题中，真命题的序号是    （写出所有真命题的序号）

16. 难度：中等

在技术工程上，常用到双曲线正弦函数和双曲线余弦函数，而双曲线正弦函数和双曲线余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，比如关于正、余弦函数有sin（x+y）=sinxcosy+cosxsiny成立，而关于双曲正、余弦函数满足sh（x+y）=shxchy+chxshy．请你运用类比的思想，写出关于双曲正弦、双曲余弦的一个新关系式     ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知a=2（cosωx，cosωx），b=（cosωx，sinωx）（其中0＜ω＜1），函数f（x）=a•b，若直线x=是函数f（x）图象的一条对称轴，
（1）试求ω的值；
（2）先列表再作出函数f（x）在区间[-π，π]上的图象．

18. 难度：中等

某研究机构准备举办一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示

版本	人教A版	人教B版	苏教版	北师大版
人数	20	15	5	10

（1）从这50名教师中随机选出2名，问这2人使用相同版本教材的概率是多少？
（2）现从这50名教师中随机选出2名教师做问卷调查，若选出3名教师都使用人教版教材，求恰有1人使用人教版A版的概率是多少？
（3）若随机选出的2名教师都是用人教版教材，设其中使用人教A版教材的教师人数为ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AD∥BC，∠BCD=90°，PA=PB，PC=PD
（1）证明平面PAB⊥平面ABCD；
（2）如果AD=1，BC=3，CD=4，且侧面PCD的面积为8，求四棱锥P-ABCD的体积．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-（a∈R）
（1）讨论f（x）在[1，e]上的单调性；
（2）若f（x）＜x在[1，+∞）上恒成立，试求a的取值范围．

21. 难度：中等

已知数列{a}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ+2（n≥2，a₁=2），
（1）求a₂，a₃，a₄
（2）是否存在一个实数λ，使得数列{}成等差数列，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；
（3）求数列{a_n}的前n项和，证明：S_n≥n³+n²．

22. 难度：中等

已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆，其离心率e=，且经过抛物线x²=4y的焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点B（2，0）的直线l与椭圆交于不同的亮点E、F（E在B、F之间）且=λ，试求实数λ的取值范围．