2012年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设复数Z满足Z•（1+2i）=4+3i，则Z等于（ ）
A．1+2i
B．1-2i
C．2+i
D．2-i

2. 难度：中等

（2x³-）⁷的展开式中常数项为a，则a的值为（ ）
A．-14
B．14
C．-84
D．84

3. 难度：中等

如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出S的值为254，则判断框①中应填入的条件是（ ）

A．n≤5
B．n≤6
C．n≤7
D．n≤8

4. 难度：中等

已知直线l：2x+a²y-2a=0（a＜0），则直线l在x，y轴上的截距之和（ ）
A．有最大值-2
B．有最小值2
C．有最大值2
D．有最小值-2

5. 难度：中等

若数列{a_n} 满足=p（p为正常数，n∈N^*），则称{a_n} 为等方比数列．甲：数列{a_n} 是等方比数列；乙：数列{a_n} 是等比数列．则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即非充分又非必要条件

6. 难度：中等

函数f（x）=Asinωx的图象如图所示，若，则cosθ-sinθ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知椭圆+=1的离心率为e₁，双曲线-=1的离心率为e₂，抛物线y²=2px的离心率为e₃，a=5，b=（），c=5，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A．a＞c＞b
B．a＞b＞c
C．c＞b＞a
D．b＞c＞a

8. 难度：中等

设定义域为r的函数f（x）=，若关于x的函数y=2f²（x）+2bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是（ ）
A．-＜b
B．-＜b＜-
C．-2＜b＜-
D．-＜b或b

二、填空题

9. 难度：中等

某企业甲、乙、丙三个生产车间的职工人数分别为120人，150人，180人，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，样本中甲车间有4人，那么此样本的容量n=    ．

10. 难度：中等

如图，OA和OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于Q，过作⊙O的切线交OA延长线于R，RP2，则RQ=    ．

11. 难度：中等

如图是某几何体的三视图，则它的体积为    ．

12. 难度：中等

极坐标系下，曲线ρcos（θ-）=与曲线ρ=2交于A、B两点，则线段AB的长度等于    ．

13. 难度：中等

如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若||=1，则•=    ．

14. 难度：中等

若关于x的不等式2-x²≥|x-a|至少有一个正数解，则实数a的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知平面内点，点B（1，1），
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[-π，π]，求f（x）的最大和最小值，并求当f（x）取最值时x的值．

16. 难度：中等

某大学对在校的学生进行素质拓展测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为．
（Ⅰ）求该小组中女生的人数；
（Ⅱ）若从中随机选3人参加测试，求所选的三人恰为两名男生一名女生的概率；
（Ⅲ）假设此项测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

17. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，AC=4，∠BAC=90°，D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC₁∥平面B₁DC；
（Ⅱ）求二面角B₁-DC-B的余弦值；
（Ⅲ）试问线段A₁C₁上是否存在点E，使得CE与DB₁成60°角？若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

已知椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），离心率e=，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，过椭圆的左焦点F₁且垂直于长轴的直线交椭圆于M、N两点，且|MN|=．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知直线l与椭圆相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ．试探究点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

19. 难度：中等

设函数f（x）=（1+x）²+ln（1+x）²．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[-1，e-1]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=x²+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）是否存在实数t，使得数列是公差为-1的等差数列，若存在求出t的值，否则，请说明理由；
（3）记数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：．