2013年广东省湛江市高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x＞1}，B={x|x²＜4}，则A∩B=（ ）
A．{x|x＜2}
B．{x|-2＜x＜2}
C．{x|x＞1}
D．{x|1＜x＜2}

2. 难度：中等

向量=（1，2），=（0，2），则•=（ ）
A．2
B．（0，4）
C．4
D．（1，4）

3. 难度：中等

如果命题“￢（p∧q）”是真命题，则（ ）
A．命题p、q均为假命题
B．命题p、q均为真命题
C．命题p、q中至少有一个是真命题
D．命题p、q中至多有一个是真命题

4. 难度：中等

下列函数中既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y=x²
B．y=x³
C．y=-
D．y=tan

5. 难度：中等

已知函数，那么=（ ）
A．2
B．
C．-2
D．-

6. 难度：中等

若三条线段的长分别为3、5、7，则用这三条线段（ ）
A．能组成直角三角形
B．能组成锐角三角形
C．能组成钝角三角形
D．不能组成三角形

7. 难度：中等

一个几何体的三视图是三个边长为1的正方形和对角线，如图所示，则此几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．1

8. 难度：中等

运行如图的程序框图，输出的结果是（ ）

A．510
B．1022
C．254
D．256

9. 难度：中等

函数f（x）=（x-1）cosx²在区间[0，4]上的零点个数是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

10. 难度：中等

对集合A，如果存在x使得对任意正数a，都存在x∈A，使0＜|x-x|＜a，则称x为集合A的“聚点”，给出下列四个集合：
①；
②{x∈R|x≠0}；
③；
④Z．
其中以0为“聚点”的集合是（ ）
A．②③
B．①②
C．①③
D．②④

二、填空题

11. 难度：中等

i是虚数单位，则=    ．

12. 难度：中等

若抛物线y²=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重复，则p=    ．

13. 难度：中等

在圆（x-2）²+（y-2）²=4内任取一点，则该点恰好在区域内的概率为    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）
在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程是（θ∈[0，2π]，θ为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程是    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲）如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB=5，BC=3，CD=6，则线段AC的长为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数
（1）求的值；
（2）设，求函数f（x）的值域．

17. 难度：中等

某市甲、乙两校高二级学生分别有1100人和1000人，为了解两校全体高二级学生期末统考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从这两所学校共抽取105名高二学生的数学成绩，并得到成绩频数分布表如下，规定考试成绩在[120，150]为优秀．
甲校：

分组	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
频数	2	3	10	15	15	x	3	1

乙校：

分组	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
频数	1	2	9	8	10	10	y	3

（1）求表中x与y的值；
（2）由以上统计数据完成下面2x2列联表，问是否有99%的把握认为学生数学成绩优秀与所在学校有关？

	甲校	乙校	总计
优秀
非优秀
总计

18. 难度：中等

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=BC=AC=AA₁，CD⊥AC₁，E、F分别是BB₁、CC₁中点．
（1）证明：平面DEF∥平面ABC；
（2）证明：CD⊥平面AEC₁．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2x+4，数列{a_n}是公差为d的等差数列，若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）S_n为{a_n}的前n项和，求证：．

20. 难度：中等

已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，2），B（1，3），C（2，5），l为BC边上的高所在直线．
（1）求直线l的方程；
（2）直线l与椭圆相交于D、E两点，△CDE是以C（2，5）为直角顶点的等腰直角三角形，求该椭圆的方程．

21. 难度：中等

已知a＜2，．（注：e是自然对数的底）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若存在x₁∈[e，e²]，使得对任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，求实数a的取值范围．