2013年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A．（1，1）
B．（-1，1）
C．（1，-1）
D．（-1，-1）

2. 难度：中等

与命题“若p则￢q”等价的命题为（ ）
A．若p则q
B．若￢p则q
C．若q则￢p
D．若￢q则p

3. 难度：中等

某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x（万元）	2	3	4	5
销售额y（万元）	27	39	48	54

根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）
A．65.5万元
B．66.2万元
C．67.7万元
D．72.0万元

4. 难度：中等

如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（ ）

A．6
B．27
C．56
D．124

5. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

双曲线的一个焦点到它的渐近线的距离为（ ）
A．1
B．
C．
D．2

7. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若（m，n∈R），则的值为（ ）
A．2
B．-2
C．3
D．-3

8. 难度：中等

若（a≠1），在定义域（-∞，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

设变量x、y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为    ．

10. 难度：中等

已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为    ．

11. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x∈R||x+3|-|x-3|＞3}，，则集合B∩（∁_UA）=    ．

12. 难度：中等

在极坐标系中，曲线ρ=2与cosθ+sinθ=0（0≤θ≤π）的交点的极坐标为    ．

13. 难度：中等

（几何证明选做题）如图，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF=12，PD=4，则⊙O的半径长为    ．

14. 难度：中等

已知1的展开式中的常数项为T，f（x）是以T为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

A、B是直线图象的两个相邻交点，且．
（I）求ω的值；
（II）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若的面积为，求a的值．

16. 难度：中等

一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．
（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
（2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的分布列与期望．

17. 难度：中等

如图，在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中AB⊥BC，AB=BD=CC₁=2，D为AC的中点．
（I）证明AB₁∥平面BDC₁；
（Ⅱ）证明A₁C⊥平面BDC₁；
（Ⅲ）求二面角A-BC₁-D的正切值．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且S_n+a_n=1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃（1-S_n+1）（n∈N^*），求适合方程 的正整数n的值．

19. 难度：中等

已知对称中心为坐标原点的椭圆C₁与抛物线C₂：x²=4y有一个相同的焦点F₁，直线l：y=2x+m与抛物线C₂只有一个公共点．
（1）求直线l的方程；
（2）若椭圆C₁经过直线l上的点P，当椭圆C₁的离心率取得最大值时，求椭圆C₁的方程及点P的坐标．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x-xlnx，g（x）=f（x）-xf′（a），其中f′（a）表示函数f（x）在x=a处的导数，a为正常数．
（1）求g（x）的单调区间；
（2）对任意的正实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，证明：（x₂-x₁）f′（x₂）＜f（x₂）-f（x₁）＜（x₂-x₁）f′（x₁）；
（3）对任意的n∈N^*，且n≥2，证明：．