2013年天津市和平区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若i是虚数单位，则复数等于（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果S的值为（ ）

A．
B．
C．1
D．0

3. 难度：中等

条件，条件则￢p是￢q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

函数在区间（2，4）内的零点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

5. 难度：中等

已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），|φ|＜π）的部分图象如图所示，则它的解析式为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设函数，则满足|f（x）|＜2的x的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1）∪[0，8）
B．（-∞，-1]∪[0，8]
C．（-∞，-1）（0，8）
D．（-∞，8）

7. 难度：中等

如图，在△ABC的边AB、AC上分别取点M、N，使，BN与CM交于点P，若，，则的值为（ ）

A．
B．
C．
D．12

8. 难度：中等

若直线y=x+m与曲线有公共点，则m所的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

一个总体可分为A，B，C三层，它们的个体数之比为3：6：1，用分层抽样的方法从总体中抽取-个容量为20的样本，已知C层中甲、乙均被抽到的概率为，则总体中的个体数是    ．

10. 难度：中等

己知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位cm），可得这个几何体的体积是    cm³．

11. 难度：中等

已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，若直线l与圆C有唯一公共点，则m的值为    ．

12. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在双曲线上，且PF₂⊥x轴，则F₂到直线PF₁的距离为    ．

13. 难度：中等

如图，AB、CD是圆O的两条平行弦，AF∥BD交CD于点E，交圆为O于点F，过B点的切线交CD的延长线于点P，若，则BD的长为    ．

14. 难度：中等

若关于x的不等式|x+2|+|x-3|≤|a-1|存在实数解，则实数a的取值范围是．    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，．
（I）求cos C；
（II）设，求AC和AB．

16. 难度：中等

-个袋子内装着标有数字l，2，3，4，5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，用X表牙诹出的3个小球中的最大数字．
（I）求一次取出的3个小球中的数字互不相同的概率；
（II）求随机变量X的分布列和数学期望：
（III）若按X的5倍计分，求一次取出的3个小球计分不小于20的概率．

17. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面节ABCAA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC的中点．
（I）求证：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）若E为BC₁的中点，求证：OE∥平面A₁AB；
（III）求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值．

18. 难度：中等

设S_n为正项数列{a_n}的前n项和，且．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设，且数列{b_n}的前n项和T_n，证明：．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx+x²-ax．
（I）若函数f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；
（II）当a=3时，求出f（x）的极值：
（III）在（I）的条件下，若在x∈（0，1]内恒成立，试确定a的取值范围．

20. 难度：中等

已知点A、B分别是椭圆=1（a＞b＞0）长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个端点，且离心率e=，S_△ABC=．动直线，l：y=kx+m与椭圆于M、N两点．
（I）求椭圆的方程；
（II）若椭圆上存在点P，满足（O为坐标原点），求λ的取值范围；
（III）在（II）的条件下，当λ取何值时，△MNO的面积最大，并求出这个最大值．