2013年天津市河西区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的共轭复数是（ ）
A．1+3i
B．-1+3i
C．1-3i
D．-1-3i

2. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（ ）
A．-2
B．4
C．6
D．8

3. 难度：中等

与命题“若p则￢q”等价的命题为（ ）
A．若p则q
B．若￢p则q
C．若q则￢p
D．若￢q则p

4. 难度：中等

某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x（万元）	2	3	4	5
销售额y（万元）	27	39	48	54

根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）
A．65.5万元
B．66.2万元
C．67.7万元
D．72.0万元

5. 难度：中等

如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（ ）

A．6
B．27
C．56
D．124

6. 难度：中等

设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞c＞b
B．a＞b＞c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a

7. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞），|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（ ）

A．y=sin2
B．y=cos2
C．y=sin（2x+）
D．y=sin（2x-）

8. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若（m，n∈R），则的值为（ ）
A．2
B．-2
C．3
D．-3

二、填空题

9. 难度：中等

已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为    ．

10. 难度：中等

抛物线y²=8x的准线l与双曲线C：-y²=1相切，则C的离心率e=    ．

11. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x∈R||x+3|-|x-3|＞3}，，则集合B∩（∁_UA）=    ．

12. 难度：中等

已知圆C过点（0，1），且圆心在x轴负半轴上，直线l：y=x+1被该圆所截得的弦长为则圆C的标准方程为    ．

13. 难度：中等

（几何证明选做题）如图，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF=12，PD=4，则⊙O的半径长为    ．

14. 难度：中等

已知1的展开式中的常数项为T，f（x）是以T为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

某班学生中喜爱看综艺类节目的有18人，体育类节目的有27人，时政类节目的有9人，现采取分层抽样的方法从这些学生中抽取6名学生．
（I）求应从喜爱看综艺类节目、体育类节目、时政类节目的学生中抽取的人数；
（Ⅱ）若从抽取的6名学生中随机抽取2人分作一组，
（i）列出所有可能的分组结果：
（ii）求抽取的2人中有1人喜爱看综艺类节目1人喜爱看体育类节目的概率．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+cos（x-），x∈R．
（1）求f（x）的最大值；
（2）设△ABC中，角A、B的对边分别为a、b，若B=2A，且b=2af（A-），求角C的大小．

17. 难度：中等

如图所示四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为PD的中点，F为PC中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求证：BF∥平面ACE；
（Ⅲ）求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．

18. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，它的前n项和为S_n，若S₅=70，且a₂，a₇，a₂₂成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为T_n，求证：．

19. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值；
②已知点，求证：为定值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+3x²-6ax-11，g（x）=3x²+6x+12，直线m：y=kx+9，又f′（-1）=0．
（1）求函数f（x）=ax³+3x²-6ax-11在区间（-2，3）上的极值；
（2）是否存在k的值，使直线m既是曲线y=f（x）的切线，又是y=g（x）的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由；
（3）如果对于所有x≥-2的x，都有f（x）≤kx+9≤g（x）成立，求k的取值范围．