2013年四川省宜宾市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列函数中哪个与函数y=|x|相等？（ ）
A．y=（）²
B．y=
C．y=
D．y=

2. 难度：中等

阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

3. 难度：中等

已知定义在复数集C上的函数f（x）=，则f（f（1））在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

4. 难度：中等

设甲为0＜x＜5，乙为：|x-2|＜3，那么乙是甲的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生一次的概率不小于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是（ ）
A．[0.4，1）
B．（0，0.6]
C．（0，0.4]
D．[0.6，1）

6. 难度：中等

设函数f（x）=1-e^x的图象与x轴相交于点P，则曲线在点P的切线方程为（ ）
A．y=-x+1
B．y=x+1
C．y=-
D．y=

7. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1-a_n=ln（1+），则a_n=（ ）
A．1+n+lnn
B．1+nlnn
C．1+（n-1）lnn
D．1+lnn

8. 难度：中等

函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（ ）
A．（，）
B．（π，2π）
C．（，）
D．（2π，3π）

9. 难度：中等

某加工厂用某原料由车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（ ）
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱

10. 难度：中等

与抛物线E：y=ax²相切于坐标原点的最大的圆的方程为（ ）
A．x²+（y-a）²=a²
B．x²+（y-）²=（）²
C．x²+（y-）²=（）²
D．x²+（y-）²=（）²

二、填空题

11. 难度：中等

已知任意两个非零向量、，向量=+，=+2，=+3，则A、B、C三点    构成三角形（填“能”或“不能”）

12. 难度：中等

若（1-2x）²⁰¹³=a+a₁x+…+a₂₀₁₃x²⁰¹³（x∈R），则++…+=    ．

13. 难度：中等

若函数y=lg|ax-1|的图象关于x=2对称，则非零实数a=    ．

14. 难度：中等

双曲线-y²=1的两个焦点为F₁，F₂，P是双曲线上的点，当△F₁PF₂的面积为2时，丨-丨的值为    ．

15. 难度：中等

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数且f（1）=1，对x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁+x₂≠0时，有，若f（x）≤m²-2am+1对所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，则实数m的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，a₁=，公比q=．
（Ⅰ）S_n为数列{a_n}的前n项和，求S_n；
（Ⅱ）设b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求数列{b_n}的通项公式．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（-x）cosx-sinx•cos（π+x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在△ABC中，若A为锐角，且f（A）=1，BC=2，B=，求AC边的长．

18. 难度：中等

某校开设了甲、乙、丙、丁四门选修课，每名学生必须且只需选修1门选修课，有3名学生A、B、C选修什么课相互独立．
（Ⅰ）求学生A、B、C中有且只有一人选修课程甲，无一人选修课程乙的概率；
（Ⅱ）求课程丙或丁被这3名学生选修的人数ξ的数学期望．

19. 难度：中等

设函数f（x）=ae^x++b（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）在[0，+∞）内的最小值；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=，求a，b的值．

20. 难度：中等

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）P（2，n），Q（2，-n）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点．
①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A、B两点在椭圆上运动，且满足∠APQ=∠BPQ时，直线AB的斜率是否为定值，说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²-bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得函数f（x）的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数g（x）=-2lnx，试判断函数g（x）在（1，+∞）上的符号，并证明：lnn+（1+）≤（n∈N^*）．