2013年北京市延庆县高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合，B={1，m}，A∪B=A，则m=（ ）
A．0或
B．0或3
C．1或
D．1或3

2. 难度：中等

已知函数f（x）=，则=（ ）
A．
B．
C．9
D．-9

3. 难度：中等

现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）
A．420
B．560
C．840
D．20160

4. 难度：中等

在极坐标系下，圆C：ρ²+4ρsinθ+3=0的圆心坐标为（ ）
A．（2，0）
B．
C．（2，π）
D．

5. 难度：中等

已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y²=16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±
B．y=±
C．y=±
D．y=±

6. 难度：中等

已知直线l₁：ax+（a+1）y+1=0，l₂：x+ay+2=0，则“a=-2”是“l₁⊥l₂”（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（ ）

A．2
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²-2（a≠0）有且仅有两个不同的零点x₁，x₂，则（ ）
A．当a＜0时，x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0
B．当a＜0时，x₁+x₂＞0，x₁x₂＜0
C．当a＞0时，x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0
D．当a＞0时，x₁+x₂＞0，x₁x₂＜0

二、填空题

9. 难度：中等

已知，，向量与的夹角为60°，则=    ．

10. 难度：中等

若复数z=（m²-m-2）+（m+1）i（为虚数单位）为纯虚数，其中m∈R，则m=    ．

11. 难度：中等

执行如图的程序框图，如果输入p=6，则输出的S=    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c依次是角A，B，C的对边，且b＜c．若，则角C=    ．

13. 难度：中等

如图所示，以直角三角形ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，过点D作⊙O的切线，交BC边于点E．则=    ．

14. 难度：中等

以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间[0，4]对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）．那么原闭区间[0，4]上（除两个端点外）的点，在第n次操作完成后（n≥1），恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为f（n），则f（3）=    ；f（n）=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知f（x）=sin2x-2sin²x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若，求f（x）的最小值及取得最小值时对应的x的取值．

16. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，侧面PAB是边长为2的正三角形，侧面PAB⊥底面ABCD．
（Ⅰ）设AB的中点为Q，求证：PQ⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求斜线PD与平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC上存在一点M，使得二面角M-BD-C的大小为60°，求的值．

17. 难度：中等

空气质量指数PM2.5（单位：μg/m³）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：

PM2.5 日均浓度	0～35	35～75	75～115	115～150	150～250	＞250
空气质量级别	一级	二级	三级	四级	五级	六级
空气质量类型	优	良	轻度污染	中度污染	重度污染	严重污染

甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：
（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？（注：不需说明理由）
（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；
（Ⅲ）在乙城市15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望．

18. 难度：中等

已知函数（a∈R）．
（Ⅰ） 讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）在区间[1，e]的最小值．

19. 难度：中等

已知动点P（x，y）与一定点F（1，0）的距离和它到一定直线l：x=4的距离之比为．
（Ⅰ） 求动点P（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）已知直线l'：x=my+1交轨迹C于A、B两点，过点A、B分别作直线l：x=4的垂线，垂足依次为点D、E．连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由．

20. 难度：中等

A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合：
（1）对任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常数L（0＜L＜0），使得对任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|ϕ（2x₁）-ϕ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|．
（Ⅰ）设φ（x）=，x∈[2，4]，证明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）设φ（x）∈A，如果存在x∈（1，2），使得x=φ（2x），那么这样的x是唯一的；
（Ⅲ）设φ（x）∈A，任取x_n∈（1，2），令x_n+1=φ（2_nx），n=1，2，…，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，不等式成立．