2013年上海市徐汇、松江、金山区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，-1），则a=    ．

2. 难度：中等

已知函数的值域为A，集合B={x|＜0}，则A∩B=    ．

3. 难度：中等

已知=    ．

4. 难度：中等

已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为    （结果保留π）．

5. 难度：中等

已知x=-3-2i（i为虚数单位）是一元二次方程x²+ax+b=0（a，b均为实数）的一个根，则a+b=    ．

6. 难度：中等

如图给出的是计算的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入i=    ．

7. 难度：中等

在极坐标系中，过圆ρ=6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为     ．

8. 难度：中等

将参数方程（θ为参数，θ∈R）化为普通方程，所得方程是    ．

9. 难度：中等

在二项式的展开式中，常数项的值是-20，则=    ．

10. 难度：中等

一质地均匀的正方体三个面标有数字0，另外三个面标有数字1．将此正方体连续抛掷两次，若用随机变量ξ表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，则数学期望Eξ=    ．

11. 难度：中等

已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为    ．

12. 难度：中等

如图，O为直线AA₂₀₁₃外一点，若A，A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，…，A₂₀₁₃中任意相邻两点的距离相等，设，用表示，其结果为    ．

13. 难度：中等

设函数f（x）=x|x|，将f（x）向左平移a（a＞0）个单位得到函数g（x），将f（x）向上平移a（a＞0）个单位得到函数h（x），若g（x）的图象恒在h（x）的图象的上方，则正数a的取值范围为    ．

14. 难度：中等

如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以D为顶点，任意向上翻折，折痕与BC交于点E₁，然后复原，记∠CDE₁=α₁；第二步，将纸片以D为顶点向下翻折，使AD与E₁D重合，得到折痕E₂D，然后复原，记∠ADE₂=α₂；第三步，将纸片以D为顶点向上翻折，使CD与E₂D重合，得到折痕E₃D，然后复原，记∠CDE₃=α₃；按此折法从第二步起重复以上步骤…，得到α₁，α₂，…，α_n，…，则=    ．

二、选择题

15. 难度：中等

已知a，b为实数，命题甲：ab＞b²，命题乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

16. 难度：中等

已知函数，设F（x）=x²•f（x），则F（x）是（ ）
A．奇函数，在（-∞，+∞）上单调递减
B．奇函数，在（-∞，+∞）上单调递增
C．偶函数，在（-∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增
D．偶函数，在（-∞，0）上递增，在（0，+∞）上递减

17. 难度：中等

气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 （℃）”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；
则肯定进入夏季的地区有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

18. 难度：中等

如图所示，向量的模是向量的模的t倍，的夹角为θ，那么我们称向量经过一次（t，θ）变换得到向量．在直角坐标平面内，设起始向量，向量经过n-1次变换得到的向量为，其中为逆时针排列，记A_i坐标为（a_i，b_i）（i∈N^*），则下列命题中不正确的是（ ）

A．
B．b_3k+1-b_3k=0（k∈N^*）
C．a_3k+1-a_3k-1=0（k∈N^*）
D．8（a_k+4-a_k+3）+（a_k+1-a_k）=0（k∈N^*）

三、解答题

19. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，若，△ABC的面积，求a+c的值．

20. 难度：中等

某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k．轮船的最大速度为15海里/小时．当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度v匀速航行．
（1）求k的值；
（2）求该轮船航行100海里的总费用W（燃料费+航行运作费用）的最小值．

21. 难度：中等

如图，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱CC₁的中点．
（1）求异面直线A₁D与BC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求直线A₁B₁到平面DAB的距离．

22. 难度：中等

已知数列的前n项和为S_n，数列是首项为0，公差为的等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，对任意的正整数k，将集合{b_2k-1，b_2k，b_2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d_k，求证：数列{d_k}为等比数列；
（3）对（2）题中的d_k，求集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素个数．

23. 难度：中等

已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，=是它的一条渐近线的一个方向向量．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求证：为定值；
（3）对于双曲线Γ：，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．
情形一：双曲线及它的左顶点；
情形二：抛物线y²=2px（p＞0）及它的顶点；
情形三：椭圆及它的顶点．