1991年全国统一高考数学试卷（湖南、云南、海南）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

sin15°cos30°sin75°的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（ ）
A．它的首项是-2，公差是3
B．它的首项是2，公差是-3
C．它的首项是-3，公差是2
D．它的首项是3，公差是-2

3. 难度：中等

设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．2

4. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，参数方程（其中t是参数）表示的曲（ ）
A．双曲线
B．抛物线
C．直线
D．圆

5. 难度：中等

设全集I为自然数集N，E={x丨x=2n，n∈N}，F={x丨x=4n，n∈N}，那么集合N可以表示成（ ）
A．E∩F
B．∁_UE∪F
C．E∪∁_UF
D．∁_UE∩∁_UF

6. 难度：中等

已知Z₁，Z₂是两个给定的复数，且Z₁≠Z₂，它们在复平面上分别对应于点Z₁和点Z₂．如果z满足方程|z-z₁|-|z-z₂|=0，那么z对应的点Z的集合是（ ）
A．双曲线
B．线段Z₁Z₂的垂直平分线
C．分别过Z₁，Z₂的两条相交直线
D．椭圆

7. 难度：中等

设5π＜θ＜6π，cos=a，那么sin等于（ ）
A．-
B．-
C．-
D．-

8. 难度：中等

函数y=sinx，x的反函数为（ ）
A．y=arcsinx，x∈[-1，1]
B．y=-arcsinx，x∈[-1，1]
C．y=π+arcsinx，x∈[-1，1]
D．y=π-arcsinx，x∈[-1，1]

9. 难度：中等

复数z=-3（sin-icos）的辐角的主值是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

满足sin（x-）的x的集合是（ ）
A．{}
B．{}
C．{}
D．{x|2kπ}}

11. 难度：中等

点（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是（ ）
A．（-6，8）
B．（-8，-6）
C．（6，8）
D．（-6，-8）

12. 难度：中等

极坐标方程4sin²θ=3表示的曲线是（ ）
A．二条射线
B．二条相交直线
C．圆
D．抛物线

13. 难度：中等

由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）
A．210个
B．300个
C．464个
D．600个

14. 难度：中等

如图是周期为2π的三角函数y=f（x）的图象，那么f（x）可以写成（ ）

A．sin（1+x）
B．sin（-1-x）
C．sin（x-1）
D．sin（1-x）

15. 难度：中等

设命题甲为lgx²=0；命题乙为x=1．那么（ ）
A．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件
B．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

16. 难度：中等

的展开式中常数项是（ ）
A．-160
B．-20
C．20
D．160

17. 难度：中等

体积相等的正方体、球、等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的全面积分别为S₁，S₂，S₃，那么它们的大小关系为（ ）
A．S₁＜S₂＜S₃
B．S₁＜S₃＜S₂
C．S₂＜S₃＜S₁
D．S₂＜S₁＜S₃

18. 难度：中等

曲线2y²+3x+3=0与曲线x²+y²-4x-5=0的公共点的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

二、填空题

19. 难度：中等

椭圆9x²+16y²=144的离心率为    ．

20. 难度：中等

设复数z₁=2-i，z₂=1-3i，则复数的虚部等于    ．

21. 难度：中等

已知圆台的上、下底面半径分别为r、2r，侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为    ．

22. 难度：中等

=    ．

23. 难度：中等

在体积为V的斜三棱柱ABC-A′B′C′中，已知S是侧棱CC′上的一点，过点S，A，B的截面截得的三棱锥的体积为V₁，那么过点S，A′，B′的截面截得的三棱锥的体积为    ．

24. 难度：中等

设函数f（x）=x²+x+的定义域是{n，n+1}（n是自然数），那么在f（x）的值域中共有    个整数．

三、解答题

25. 难度：中等

已知α，β为锐角，cosα=，tan（α-β）=，求cosβ的值．

26. 难度：中等

解不等式：．

27. 难度：中等

如图：已知直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA₁=，M是CC₁的中点．求证：AB₁⊥A₁M．

28. 难度：中等

设{a_n}是等差数列，a₁=1，S_n是它的前n项和；{b_n}是等比数列，其公比的绝对值小于1，T_n是它的前n项和，如果a₃=b₂，S₅=2T₂-6，，{a_n}，{b_n}的通项公式．

29. 难度：中等

已知双曲线C的实半轴长与虚半轴的乘积为，C的两个焦点分别为F₁，F₂，直线l过F₂且与直线F₁F₂的夹角为tanψ=，l与线段F₁F₂的垂直平分线的交点是P，线段PF₂与双曲线C的交点为Q，且|PQ|：|QF₂|=2：1．求双曲线C的方程．

30. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）证明：f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）证明：对于任意不小于3的自然数n，都有f（n）＞．