2013年甘肃省兰州市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U={1，2，3，4，5}，已知U的子集M、N满足集M={1，4}，M∩N={1}，N∩（∁_UM）={3，5}，则N=（ ）
A．{1，3}
B．{3，5}
C．{1，3，5}
D．{1，2，3，5}

2. 难度：中等

设i为虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（ ）
A．
B．-2
C．
D．2

3. 难度：中等

曲线y=x³+11在点P（1，12）处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是（ ）
A．75
B．
C．27
D．

4. 难度：中等

若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知命题：
p₁：函数的最小值为3；
p₂：不等式的解集是{x|x＜1}；
p₃：∃α，β∈R，使得sin（α+β）=sinα+sinβ成立；
p₄：∀α，β∈R，成立．
其中的真命题是（ ）
A．p₁
B．p₁，p₃
C．p₂，p₄
D．p₁，p₃，p₄

6. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=，且（n≥2），则a_n=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

执行右面的程序框图，若输入的n=6，m=4那么输出的p是（ ）

A．120
B．240
C．360
D．720

8. 难度：中等

有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．16
B．20
C．24
D．32

9. 难度：中等

已知动点P到两定点A、B的距离和为8，且|AB|=4，线段AB的中点为O，过点O的所有直线与点P的轨迹相交而形成的线段中，长度为整数的有（ ）
A．5条
B．6条
C．7条
D．8条

10. 难度：中等

将函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在[]上为增函数，则ω的最大值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

11. 难度：中等

已知函数f（x）是R上的偶函数，且满足f（5+x）=f（5-x），在[0，5]上有且只有f（1）=0，则f（x）在[-2013，2013]上的零点个数为（ ）
A．808
B．806
C．805
D．804

12. 难度：中等

定义：．在区域内任取一点P（x，y），则x、y满足min{x²+x+2y，x+y+4}=x²+x+2y的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知向量，，为非零向量，若，则k=    ．

14. 难度：中等

三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有    种．

15. 难度：中等

已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在以O为球心的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，若三棱锥S-ABC的体积为，则球O的表面积为    ．

16. 难度：中等

已知各项为正的数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，log₂a_n+1+log₂a_n=n（n∈N^*），则a₁+a₂+…+a₂₀₁₃-2¹⁰⁰⁸=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a²=b²+c²+bc．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，b=2，求c的值．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）若PA=AB，求二面角A-PD-B的余弦值．

19. 难度：中等

某售报亭每天以每份0.4元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站．
（Ⅰ）若售报亭一天购进270份报纸，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量x（单位：份，x∈N）的函数解析式．
（Ⅱ）售报亭记录了100天报纸的日需求量（单位：份），整理得下表：

日需求量x	240	250	260	270	280	290	300
频数	10	20	16	16	15	13	10

以100天记录的需求量的频率作为各销售量发生的概率．
（1）若售报亭一天购进270份报纸，ξ表示当天的利润（单位：元），求ξ的数学期望；
（2）若售报亭计划每天应购进270份或280份报纸，你认为购进270份报纸好，还是购进280份报纸好？说明理由．

20. 难度：中等

已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动点，点F（1，0）为定点，且满足=，=0．
（Ⅰ）求动点N的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点F且斜率为k的直线l与曲线E交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点C，使得|CA|²+|CB|²=|AB|²成立，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=+2ex，g（x）=3e²lnx+b（x∈R⁺，e为常数，e=2.71828），且这两函数的图象有公共点，并在该公共点处的切线相同．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）若1≤x≤e时，2[f（x）-2ex]+恒成立，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

选修4-1：《几何证明选讲》
已知：如图，⊙O为△ABC的外接圆，直线l为⊙O的切线，切点为B，直线AD∥l，交BC于D、交⊙O于E，F为AC上一点，且∠EDC=∠FDC．求证：
（Ⅰ）AB²=BD•BC；
（Ⅱ）点A、B、D、F共圆．

23. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为．
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|．
（1）证明：-3≤f（x）≤3；
（2）求不等式f（x）≥x²-8x+15的解集．