2013年甘肃省兰州市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3}，N={1，4}，则集合N∩（∁_UM）等于（ ）
A．{1，2，3，4}
B．{1，4，5，6}
C．{1，4，5}
D．{1，4}

2. 难度：中等

设i为虚数单位，若（x+i）（1-i）=y，则实数x，y满足（ ）
A．x=-1，y=1
B．x=-1，y=2
C．x=1，y=2
D．x=1，y=1

3. 难度：中等

曲线y=x³+11在点P（1，12）处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是（ ）
A．75
B．
C．27
D．

4. 难度：中等

若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

下列命题中的真命题是（ ）
A．对于实数a、b、c，若a＞b，则ax²＞bx²
B．不等式的解集是{x|x＜1}
C．∃a，β∈R，使得sin（α+β）=sinα+sinβ成立
D．∀a，β∈R，tan（α+β）=成立

6. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，且a₁+a₇+a₁₃=4π，则tan（a₂+a₁₂）的值为（ ）
A．-
B．
C．
D．-

7. 难度：中等

执行右面的程序框图，若输入的n=6，m=4那么输出的p是（ ）

A．120
B．240
C．360
D．720

8. 难度：中等

有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．16
B．20
C．24
D．32

9. 难度：中等

在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，则所做弦的长度超过的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知动点P到两定点A、B的距离和为8，且|AB|=4，线段AB的中点为O，过点O的所有直线与点P的轨迹相交而形成的线段中，长度为整数的有（ ）
A．5条
B．6条
C．7条
D．8条

11. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，a_n+1=3S_n（n≥1），则a₆=（ ）
A．3×4⁴
B．3×4⁴+1
C．4⁴
D．4⁴+1

12. 难度：中等

已知函数f（x）是R上的偶函数，且满足f（5+x）=f（5-x），在[0，5]上有且只有f（1）=0，则f（x）在[-2013，2013]上的零点个数为（ ）
A．808
B．806
C．805
D．804

二、填空题

13. 难度：中等

已知变量x，y满足，则z=2x+y的最大值为    ．

14. 难度：中等

已知向量，，为非零向量，若，则k=    ．

15. 难度：中等

已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在以O为球心的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，若三棱锥S-ABC的体积为，则球O的表面积为    ．

16. 难度：中等

定义一种运算令，且x∈，则函数的最大值是     ．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a²=b²+c²+bc．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，b=2，求c的值．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求棱锥C-PBD的高．

19. 难度：中等

某售报亭每天以每份0.4元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站．
（Ⅰ）若售报亭一天购进280份报纸，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量x（单位：份，x∈N）的函数解析式．
（Ⅱ）售报亭记录了100天报纸的日需求量（单位：份），整理得下表：

日需求量x	240	250	260	270	280	290	300
频数	10	20	16	16	15	13	10

（1）假设售报亭在这100天内每天购进280份报纸，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；
（2）若售报亭一天购进280份报纸，以100天记录的各需求量的频率作为各销售量发生的概率，求当天的利润不超过150元的概率．

20. 难度：中等

已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动点，点F（1，0）为定点，且满足，•．
（Ⅰ）求动点N的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点F且斜率为k的直线l与曲线E交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点C，使得|CA|²+|CB|²=|AB|²成立，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=，g（x）=3e²lnx+b（x∈R⁺，e为常数，e=2.71828），且这两函数的图象有公共点，并在该公共点处的切线相同．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）若x∈（0，1]时，证明：2[f（x）-2ex]+[2g（x）+e²]≤4x-3恒成立．

22. 难度：中等

选修4-1：《几何证明选讲》
已知：如图，eO为△ABC的外接圆，直线l为eO的切线，切点为B，直线AD∥l，交BC于D、交eO于E，F为AC上一点，且∠EDC=∠FDC．求证：
（Ⅰ）AB²=BD．BC；
（Ⅱ）点A、B、D、F共圆．

23. 难度：中等

选修4-4：《坐标系与参数方程》
在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为（α为参数）
（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；
（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

24. 难度：中等

选修4-5：《不等式选讲》
已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|．
（I）证明：-3≤f（x）≤3；
（Ⅱ）求不等式f（x）≥x²-8x+15的解集．