2007年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i是虚数单位，复数（1+i）²=（ ）
A．2i
B．-2i
C．2+2i
D．2-2i

2. 难度：中等

已知 m∈R，向量 =（ ）
A．1
B．
C．±1
D．

3. 难度：中等

函数f（x）=sinx-cosx（x∈R）的最小正周期是（ ）
A．
B．π
C．2π
D．3π

4. 难度：中等

如图所示，U是全集，A、B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A．A∩B
B．B∩（∁_UA）
C．A∪B
D．A∩（∁_UB）

5. 难度：中等

如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图所示的算法流程图中（注：“A=1”也可写成“A：=1”或“A←1”，均表示赋值语句），第3个输出的数是（ ）
A．1
B．
C．2
D．

7. 难度：中等

某市A、B、C三个区共有高中学生20000人，其中A区高中学生7000人，现采用分层抽样的方法从这三个区所有高中学生中抽取一个容量为600人的样本进行学习兴趣调查，则A区应抽取（ ）
A．200人
B．205人
C．210人
D．215人

8. 难度：中等

下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y=x³
B．y=cos
C．
D．y=ln|x|

9. 难度：中等

如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（ ）
A．cm²
B．cm²
C．96cm²
D．112cm²

10. 难度：中等

如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为a_i（i=1，2，3，4），此四边形内任一点P到第i条边的距离记为h_i（i=1，2，3，4），若，则．类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S_i（i=1，2，3，4），此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为H_i（i=1，2，3，4），若=，则=（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

命题“若m＞0，则方程x²+x-m=0有实数根”的逆命题是    ．

12. 难度：中等

双曲线的中心在坐标原点，离心率等于2，一个焦点的坐标为（2，0），则此双曲线的方程是    ．

13. 难度：中等

不等式组所确定的平面区域记为D．若点（x，y）是区域D上的点，则2x+y的最大值是    ； 若圆O：x²+y²=r²上的所有点都在区域D上，则圆O的面积的最大值是    ．

14. 难度：中等

如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于    ．

15. 难度：中等

在极坐标系中，圆p=2上的点到直线p（cosθ）=6的距离的最小值是     ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知，，求tanθ和cos2θ的值．

17. 难度：中等

如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，连结A₁C、BD．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥BD；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-BCD的体积．

18. 难度：中等

函数f（x）=2^x和g（x）=x³的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．
（Ⅰ）请指出示意图中曲线C₁，C₂分别对应哪一个函数？
（Ⅱ）若x₁∈[a，a+1]，x₂∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，指出a，b的值，并说明理由；
（Ⅲ）结合函数图象的示意图，判断f（6），g（6），f（2007），g（2007）的大小，并按从小到大的顺序排列．

19. 难度：中等

某工厂日生产某种产品最多不超过30件，且在生产过程中次品率p与日产量x（x∈N⁺）件间的关系为 
，每生产一件正品盈利2900元，每出现一件次品亏损1100元．
（Ⅰ）将日利润y（元）表示为日产量x（件）的函数；
（Ⅱ）该厂的日产量为多少件时，日利润最大？
（注：次品率，正品率=1-p）

20. 难度：中等

已知圆C：x²+y²-2x-2y+1=0，直线l：y=kx，且l与C相交于P、Q两点，点M（0，b），且MP⊥MQ．
（Ⅰ）当b=1时，求k的值；
（Ⅱ）当b∈（1，），求k的取值范围．

21. 难度：中等

设S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*S_n=qa_n+1（q＞0，q≠1），m，k∈N^*，且m≠k
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n
（2）试比较S_m+k与的大小
（3）当q＞1时，试比较与的大小．