2007年广东省揭阳市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知向量表示“向东航行1km”，向量表示“向北航行km”，则向量表示（ ）
A．向东北方向航行2km
B．向北偏东30°方向航行2km
C．向北偏东60°方向航行2km
D．向东北方向航行（）km

2. 难度：中等

已知函数f（x）=log_ax（a＞0，a≠1）的图象如右图示，函数y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则函数y=g（x）的解析式为（ ）

A．g（x）=2^x
B．g（x）=
C．g（x）=
D．g（x）=log₂

3. 难度：中等

若在（x+1）⁴（ax-1）的展开式中，x⁴的系数为15，则a的值为（ ）
A．-4
B．
C．4
D．

4. 难度：中等

函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．
B．1
C．2
D．

5. 难度：中等

按如程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为（ ）

A．i＞5
B．i≥7
C．i＞9
D．i≥9

6. 难度：中等

已知F₁，F₂是椭圆的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF₂是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知点P（x，y）的坐标满足条件则x²+y²的最大值为（ ）
A．
B．8
C．16
D．10

8. 难度：中等

某地区的一种特色水果上市时间仅能持续几个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨的态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，为准确研究其价格走势，下面给出的四个价格模拟函数中合适的是（其中p，q为常数，且q＞1，x∈[0，5]，x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，…以此类推）（ ）
A．f（x）=p•q^x
B．f（x）=px²+qx+1
C．f（x）=x（x-q）²+p
D．f（x）=plnx+qx²

二、填空题

9. 难度：中等

对于n个向量，，…，，若存在n个不全为零的实数k₁，k₂，…k_n，使得k₁₁+k₂₂+…+k_nn=0成立，则称向量，…，，是线性相关的．按此规定，能使向量=（1，0），=（1，-1），=（2，2）是线性相关的实数k₁，k₂，k₃的值依次为    ．（只需写出一组值即可）

10. 难度：中等

下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖    块．（用含n的代数式表示）

11. 难度：中等

某港口水的深度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：时）的函数，记作y=f（t），下面是某日水深的数据：

t/h		3	6	9	12	15	18	21	24
y/m	10.0	13.0	9.9	7.0	10.0	13.0	10.1	7.0	10.0

经常期观察，y=f（t）的曲线可以近似的看成函数y=Asinωt+b的图象，根据以上的数据，可得函数y=f（t）的近似表达式为    ．

12. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．则该几何体的体积是    ；用    个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体．

13. 难度：中等

如图，AC为⊙O的直径，BD⊥AC于P，PC=2，PA=8则CD的长为    、cos∠ACB=    ．（用数字表示）

14. 难度：中等

已知x，y∈R⁺，2x+y=6，则V=x²y的最大值为    ．

15. 难度：中等

已知点P（x，y）在曲线，（θ为参数）上，则的取值范围为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知tan（π+α）=-，tan（α+β）=．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求tanβ的值．

17. 难度：中等

如图（1）是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN和PB画出来，并就这个正方体解决下面问题．
（Ⅰ）求证：MN∥平面PBD；
（Ⅱ）求证：AQ⊥平面PBD；
（Ⅲ）求二面角P-DB-M的正切值．

18. 难度：中等

（理科做）一个口袋内装有大小相同的4个红球和6个白球．
（I）从中任摸2个球，求摸出的2个球颜色不同的概率；
（II）从中任摸4个球，求摸出的4个球中红球数不少于白球数的概率；
（Ⅲ）每次从中任摸4个球，放回后再摸4个球，如此反复三次，求三次中恰好有一次4个球都是白球的概率．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足（q是常数且q＞0，q≠1，）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当时，试证明a₁+a₂+…+a_n＜；
（3）设函数f（x）=log_qx，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），是否存在正整数m，使对任意n∈N^*都成立？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

如图，线段AB过y轴负半轴上一点M（0，a），A、B两点到y轴距离的差为2k．
（Ⅰ）若AB所在的直线的斜率为k（k≠0），求以y轴为对称轴，且过A、O、B三点的抛物线的方程；
（Ⅱ）设（1）中所确定的抛物线为C，点M是C的焦点，若直线AB的倾斜角为60°，又点P在抛物线C上由A到B运动，试求△PAB面积的最大值．

21. 难度：中等

如图（1）示，定义在D上的函数f（x），如果满足：对∀x∈D，∃常数A，都有f（x）≥A成立，则称函数f（x）在D上有下界，其中A称为函数的下界．（提示：图（1）、（2）中的常数A、B可以是正数，也可以是负数或零）  

（Ⅰ）试判断函数f（x）=x³+在（0，+∞）上是否有下界？并说明理由；
（Ⅱ）又如具有如图（2）特征的函数称为在D上有上界．请你类比函数有下界的定义，给出函数f（x）在D上有上界的定义，并判断（Ⅰ）中的函数在（-∞，0）上是否有上界？并说明理由；
（Ⅲ）若函数f（x）在D上既有上界又有下界，则称函数f（x）在D上有界，函数f（x）叫做有界函数．试探究函数f（x）=ax³+（a＞0，b＞0a，b是常数）是否是[m，n]（m＞0，n＞0，m、n是常数）上的有界函数？