2007年山东省淄博市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

计算i（1-i）²等于（ ）
A．2-2i
B．2+2i
C．-2
D．2

2. 难度：中等

已知（-）⁶的展开式中，不含x的项是，那么正数p的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

3. 难度：中等

在△ABC中，已知sinC=2sin（B+C）cosB，那么△ABC一定是（ ）
A．等腰直角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形

4. 难度：中等

已知直线y=2x上一点P的横坐标为a，有两个点A（-1，1），B（3，3），那么使向量与夹角为钝角的一个充分不必要条件是（ ）
A．-1＜a＜2
B．0＜a＜1
C．-＜a＜
D．0＜a＜2

5. 难度：中等

若指数函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的部分对应值如表：则不等式f^-1（|x|）＜0的解集为（ ）

x	-2
f（x）	0.592	1

A．{x|-1＜x＜1}
B．{x|x＜-1或＞1}
C．{x|0＜x＜1}
D．{x|-1＜x＜0或0＜x＜1}

6. 难度：中等

有一排7只发光的二极管，每只二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二极管点亮，且相邻的两只不能同时点亮，根据三只点亮的不同位置，或不同颜色来表示不同的信息，则这排二极管能表示的信息种数共有（ ）钟．
A．10
B．48
C．60
D．80

7. 难度：中等

设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足f（0）=1，且对任意实数a、b都有f（a）-f（a-b）=b（2a-b+1），则f（x）的解析式可以是（ ）
A．f（x）=x²+x+1
B．f（x）=x²+2x+1
C．f（x）=x²-x+1
D．f（x）=x²-2x+1

8. 难度：中等

已知{a_n}是首项为1，公比为q的等比数列，（n∈N^*，n＞2），，（其中表示t的最大整数，如[2.5]=2）．如果数列有极限，那么公比q的取值范围是（ ）
A．-1＜q≤1，且q≠0
B．-1＜q＜1，且q≠0
C．-3＜q≤1，且q≠0
D．-3＜q＜1，且q≠0

二、填空题

9. 难度：中等

某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，其中A型号产品有16件，那么此样品容量为n=    ．

10. 难度：中等

若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=    ．

11. 难度：中等

如果过点（0，1）斜率为k的直线l与圆x²+y²+kx+my-4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，那么直线l的斜率k=    ；不等式组表示的平面区域的面积是    ．

12. 难度：中等

设函数f（x）=，若f（-4）=f（0），f（-2）=-2，则f（x）的解析式为f（x）=    ，关于x的方程f（x）=x的解的个数为    ．

13. 难度：中等

已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，则球的半径等于    ，球的表面积等于    ．

14. 难度：中等

设函数f（x）=sin（ϖx+ϕ），其中ϖ＞0，＜ϕ＜，给出四个论段：
①它的周期是π 
②它的图象关于直线对称  
③它的图象关于点（对称
④在区间上是增函数，
以其中两个论段作为条件，另两个论段作为结论，写出一个你认为正确的命题    ．

三、解答题

15. 难度：中等

学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．
（1）求文娱队的队员人数；
（2）写出ξ的概率分布列并计算E（ξ）．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，曲线y=f（x）在点x=1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为，若x=时，y=f（x）有极值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

17. 难度：中等

如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求异面直线AP与BC所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角C-PA-B的大小．

18. 难度：中等

设A，B分别是直线和上的两个动点，并且，动点P满足．记动点P的轨迹为C．
（I） 求轨迹C的方程；
（Ⅱ）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且，求实数λ的取值范围．

19. 难度：中等

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=10（x-1），数列{a_n}满足a₁=2，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，b_n=．
（1）求证：数列{a_n-1}是等比数列；  
（2）当n取何值时，{b_n}取最大值，并求出最大值；
（3）若＜对任意m∈N^*恒成立，求实数t的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数，（x＞0）．
（Ⅰ）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求证：ab＞1；
（Ⅱ）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]（m≠0），求m的取值范围．