2007年广东省揭阳市高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U={x|x是不大于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}则图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A．{1，2，3，4，5，6}
B．{7，8}
C．{7，8，9}
D．{1，2，4，5，6，7，8，9}

2. 难度：中等

已知向量表示“向东航行1km”，向量表示“向北航行km”，则向量表示（ ）
A．向东北方向航行2km
B．向北偏东30°方向航行2km
C．向北偏东60°方向航行2km
D．向东北方向航行（）km

3. 难度：中等

已知函数f（x）=log_ax（a＞0，a≠1）的图象如图示，函数y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则函数y=g（x）的解析式为（ ）

A．g（x）=2^x
B．g（x）=
C．g（x）=
D．g（x）=log₂

4. 难度：中等

某公司有职员150人，中级管理人员40人，高级管理人员10人，要从这200人中抽取40人进行身体检查，如果采用分层抽样的方法，则职员、中级管理人员、高级管理人员各应抽取的人数为（ ）
A．25，10，5
B．30，8，2
C．30，6，4
D．32，6，2

5. 难度：中等

下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的是（ ）
A．y=x³
B．y=-x²+1
C．y=|x|+1
D．y=2^-|x|

6. 难度：中等

已知点A（1，-1），B（-1，1），则以线段AB为直径的圆的方程是（ ）
A．x²+y²=2
B．
C．x²+y²=1
D．x²+y²=4

7. 难度：中等

在三角形△ABC中，已知，sinA：sinB：sinC=2：4：5，则△ABC最大角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知（e=2.718…），则不等式f（x）-1≤0的解集为（ ）
A．（-∞，0]∪[e，+∞）
B．（-∞，1]
C．（-∞，e]
D．∅

9. 难度：中等

已知点P（x，y）的坐标满足条件则x²+y²的最大值为（ ）
A．
B．8
C．16
D．10

10. 难度：中等

某地区的一种特色水果上市时间仅能持续几个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨的态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，为准确研究其价格走势，下面给出的四个价格模拟函数中合适的是（其中p，q为常数，且q＞1，x∈[0，5]，x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，…以此类推）（ ）
A．f（x）=p•q^x
B．f（x）=px²+qx+1
C．f（x）=x（x-q）²+p
D．f（x）=plnx+qx²

二、填空题

11. 难度：中等

椭圆4x²+y²=64的焦点坐标为    、离心率为    ．

12. 难度：中等

下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖    块．（用含n的代数式表示）

13. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．则该几何体的体积是    ；用    个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体．

14. 难度：中等

如图，已知PB是⊙O的切线，A是切点，D是弧AC上一点，若∠BAC=70°，则∠ADC=    ．

15. 难度：中等

已知点P（x，y）在曲线，（θ为参数）上，则的取值范围为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知tan（π+α）=-，tan（α+β）=．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求tanβ的值．

17. 难度：中等

某商场举行抽奖大酬宾活动，从装有编号为0，1，2，3四个大小相同的小球的抽奖箱中同时摸出两个小球，两个小球号码之和为质数的中三等奖，号码之和为合数的中二等奖，号码之和既不是质数也不是合数的中一等奖．
（Ⅰ）求某顾客中三等奖的概率；
（Ⅱ）求某顾客至少中二等奖的概率．

18. 难度：中等

如图（1）是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条对角线，请在图（2）的正方体中将MN和PB画出来，并就这个正方体解决下面问题．
（1）求证：MN∥平面PBD；
（2）求证：AQ⊥平面PBD；
（3）求二面角P-DB-M的大小．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足S_n=．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：S_n＜；
（Ⅲ）设函数f（x）=x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），求．

20. 难度：中等

如图，线段AB过y轴负半轴上一点M（0，a），A、B两点到y轴距离的差为2k．
（Ⅰ）若AB所在的直线的斜率为k（k≠0），求以y轴为对称轴，且过A、O、B三点的抛物线的方程；
（Ⅱ）设（1）中所确定的抛物线为C，点M是C的焦点，若直线AB的倾斜角为60°，又点P在抛物线C上由A到B运动，试求△PAB面积的最大值．

21. 难度：中等

如图（1）示，定义在D上的函数f（x），如果满足：对∀x∈D，∃常数A，都有f（x）≥A成立，则称函数f（x）在D上有下界，其中A称为函数的下界．（提示：图（1）、（2）中的常数A、B可以是正数，也可以是负数或零）

（Ⅰ）试判断函数f（x）=x³+在（0，+∞）上是否有下界？并说明理由；
（Ⅱ）又如具有如图（2）特征的函数称为在D上有上界．请你类比函数有下界的定义，给出函数f（x）在D上有上界的定义，并判断（Ⅰ）中的函数在（-∞，0）上是否有上界？并说明理由；
（Ⅲ）已知某质点的运动方程为S（t）=at-2，要使在t∈[0，+∞）上的每一时刻该质点的瞬时速度是以A=为下界的函数，求实数a的取值范围．