2007年广东省汕头市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个．用系统抽样法从中抽取容量为20的样本、则每个个体被抽取到的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

下列关系式中，使α存在的关系式是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

在△ABC中，A=60°，AC=16，面积为220，那么BC的长度为（ ）
A．25
B．51
C．49
D．49

4. 难度：中等

若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2

5. 难度：中等

设复数（i为虚数单位），则C₈+C₈¹•z+C₈²•z²+C₈³•z³+C₈⁴•z⁴+C₈⁵•z⁵+C₈⁶•z⁶+C₈⁷•z⁷=（ ）
A．16
B．15
C．16i
D．16-i

6. 难度：中等

若圆锥的高等于其内切球半径长的3倍，则圆锥侧面积与球面积之比是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

函数y=（sinx-a）²+1，当sinx=a时有最小值，当sinx=1时有最大值，则a的取值范围是（ ）
A．[-1，0]
B．[-1，1]
C．（-∞，0]
D．[0，1]

8. 难度：中等

已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，那么在区间[-1，3]内，关于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R且k≠-1）有4个不同的根，则k的取值范围是（ ）
A．
B．（-1，0）
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

将一张坐标纸折叠一次，使点（2，0）与点（2，4）重合，则与点（-4，1）重合的点的坐标是    ．

10. 难度：中等

数列的一个通项公式是a_n=    ．

11. 难度：中等

利用计算机计算，某同学编写的右边程序语句中，①处应填    ．

12. 难度：中等

给出以下五个命题：
①∀n∈N^*，（n²-5n+5）²=1．
②当x，y满足不等式组时，目标函数k=3x+2y的最大值为5．
③设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={3，4}，B={3，6}，则∁_U（A∪B）={1，2，3，5，6}．
④定义在R上的函数y=f（x）在区间（1，2）上存在唯一零点的充要条件是f（1）•f（2）＜0．
⑤已知△ABC所在平面内一点P（P与A，B，C都不重合）满足，则△ACP与△BCP的面积之比为2．
其中正确命题的序号是    ．

13. 难度：中等

在极坐标系中，圆ρ=cosθ与直线ρcosθ=1的位置关系是    ．

14. 难度：中等

函数的最大值是    ．

15. 难度：中等

已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB=3，则切线AD的长为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设f（x）=ax+b，a≠0，S_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n），若f（3）=5，且f（1），f（2），f（5）成等比数列，求S_n．

17. 难度：中等

中央电视台《福州月SKIPIF 1＜0中华情》大型中秋晚会今年在我市海峡会展中心举行，之前甲、乙两人参加大会青年志愿者的选拔．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．
（1）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；
（2）求甲、乙两人至少有一人入选的概率．

18. 难度：中等

如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，tan∠DAC=．现沿对角线BD把△ABD折起，使∠ADC的余弦值为．
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面CBD；
（Ⅱ）若M是AB的中点，求AC与平面MCD所成角的一个三角函数值．

19. 难度：中等

某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R（x）=3 700x+45x²-10x³（单位：万元），成本函数为C（x）=460x+5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）．
（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；（提示：利润=产值-成本）
（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
（3）求边际利润函数MP（x）的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

20. 难度：中等

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂） 是抛物线C：y²=2px（p＞0）上相异两点，且，直线PQ 与x 轴相交于E．
（Ⅰ）若P，Q 到x 轴的距离的积为4，求p的值；
（Ⅱ）若p为已知常数，在x 轴上，是否存在异于E 的一点F，使得直线PF 与抛物线的另一交点为R，而直线RQ 与x 轴相交于T，且有，若存在，求出F 点的坐标（用p 表示），若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

定义F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞），
（Ⅰ）令函数的图象为曲线C₁，曲线C₁与y轴交于点A（0，m），过坐标原点O向曲线C₁作切线，切点为B（n，t）（n＞0），设曲线C₁在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值；
（Ⅱ）令函数的图象为曲线C₂，若存在实数b使得曲线C₂在x（-4＜x＜-1）处有斜率为-8的切线，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当x，y∈N^*且x＜y时，证明F（x，y）＞F（y，x）．