2006-2007学年广东省惠州市高三第二次调研数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

计算i（1-i）²等于（ ）
A．2-2i
B．2+2i
C．-2
D．2

2. 难度：中等

如图所示，甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（ ）

①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱．
A．④③②
B．②①③
C．①②③
D．③②④

3. 难度：中等

给出下列函数 ①y=x-x³，②y=xsinx+cosx，③y=sinxcosx，④y=2^x+2^-x，其中是偶函数的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

4. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₄=8，a₅=10，则S₈=（ ）
A．18
B．36
C．54
D．72

5. 难度：中等

如果函数y=x²+bx+c对任意的实数x，都有f（1+x）=f（-x），那么（ ）
A．f（-2）＜f（0）＜f（2）
B．f（0）＜f（-2）＜f（2）
C．f（2）＜f（0）＜f（-2）
D．f（0）＜f（2）＜f（-2）

6. 难度：中等

已知单位向量，它们的夹角为，则的值为（ ）
A．
B．
C．10
D．-10

7. 难度：中等

若动圆的圆心在抛物线x²=12y上，且与直线y+3=0相切，则此动圆恒过定点（ ）
A．（0，2）
B．（0，-3）
C．（0，3）
D．（0，6）

8. 难度：中等

在实数集上定义运算⊗：x⊗y=x（1-y），若不等式（x-a）⊗（x+a）＜1对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-1，1）
B．（0，2）
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

程序框图如图：如果上述程序运行的结果为S=132，那么判断框中横线上应填入的数字是    ．

10. 难度：中等

定积分的值为    ．

11. 难度：中等

若双曲线的离心率为2，则k的值是    ．

12. 难度：中等

已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是    ．

13. 难度：中等

两弦相交，一弦被分为12cm和18cm两段，另一弦被分为3：8，求另一弦长    ．

14. 难度：中等

极坐标方程分别为ρ=cosθ与ρ=sinθ的两个圆的圆心距为    ．

15. 难度：中等

（不等式选讲选做题）已知x+2y+3z=1，求x²+y²+z²的最小值    ．

三、解答题

16. 难度：中等

小王、小李两位同学，独立完成一套高三数学模拟测试题，他们的解答合格的概率依次为，，试求：
（1）他们两人中有且只有1人合格的概率；
（2）他们两人中至少有一人不合格的概率．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，求角A．

18. 难度：中等

如图（1）在直角梯形PDCB中，PD∥CB，CD⊥PD，PD=6，BC=3，DC=，A是线段PD的中点，E是线段AB的中点；如图（2），沿AB把平面PAB折起，使二面角P-CD-B成45°角．
（1）求证PA⊥平面ABCD；
（2）求平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大小．

19. 难度：中等

用S_m→n表示数列{a_n}从第m项到第n项（共n-m+1项）之和．
（1）在递增数列{a_n}中，a_n与a_n+1是关于x的方程x²-4nx+4n²-1=0（n为正整数）的两个根．求{a_n}的通项公式并证明{a_n}是等差数列；
（2）对（1）中的数列{a_n}，判断数列S_1→3，S_4→6，S_7→9，…，S_3k-2→3k的类型，并证明你的判断．

20. 难度：中等

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程，若不存在说明理由．

21. 难度：中等

设n为正整数，规定：，已知，
（1）解不等式f（x）≤x；
（2）设集合A={0，1，2}，对任意x∈A，证明：f₃（x）=x；
（3）求的值；
（4）若集合B={x|f₁₂（x）=x，x∈[0，2]}，证明：B中至少包含8个元素．