2007年广东省肇庆市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

命题“∀x∈R，x²-2x+4≤0”的否定为（ ）
A．∃x∈R，x²-2x+4＞0
B．∀x∈R，x²-2x+4≥0
C．∀x∉R，x²-2x+4≤0
D．∃x∉R，x²-2x+4＞0

2. 难度：中等

已知两组数据x₁，x₂，…，x_n与y₁，y₂，…，y_n，它们的平均数分别是和，则新的一组数据2x₁-3y₁+1，2x₂-3y₂+1，…，2x_n-3y_n+1的平均数是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

在空间中，有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；
②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；
③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β．
其中正确命题的个数为（ ）个．
A．0
B．1
C．2
D．3

4. 难度：中等

若，的夹角为30°，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若二次函数y=-x²+2x的定义域为[0，3]，则此二次函数的值域为（ ）
A．（-∞，1]
B．[-3，0]
C．[-3，1]
D．[3，+∞）

6. 难度：中等

不等式组表示的平面区域的面积为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

7. 难度：中等

将n²（n≥3）个正整数1，2，3，…，n²填入n×n方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记f（n）为n阶幻方对角线的和，如右表就是一个3阶幻方，可知f（3）=15，则f（n）=（ ）

8	1	6
3	5	7
4	9	2

A．
B．
C．
D．n（n²+1）

8. 难度：中等

已知曲线C：y=2x²，点A（0，-2）及点B（3，a），从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是（ ）
A．（4，+∞）
B．（-∞，4）
C．（10，+∞）
D．（-∞，10）

二、填空题

9. 难度：中等

=    ．

10. 难度：中等

若的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是    ．

11. 难度：中等

当a＞0时，计算=    ．

12. 难度：中等

如图中的算法输出的结果    ．

13. 难度：中等

如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB与CD交于E点，且AE：EB=3：1、CE：ED=1：1，，则直径AB的长为    ．

14. 难度：中等

已知直线l的斜率为k=-1，经过点M（2，-1），点M在直线上，以的数量t为参数，则直线l的参数方程为    ．

15. 难度：中等

若关于x的不等式|x-3|+|x+1|＞a的解集为R，则实数a的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设函数f（x）=2cos²x+2sinxcosx-1（x∈R）的最大值为M，最小正周期为T．
（Ⅰ）求M及T；
（Ⅱ）写出f（x）的单调区间；
（Ⅲ）10个互不相等的正数x_i满足f（x_i）=M，且x_i＜10π（i=1，2，…，10），求x₁+x₂+…+x₁₀的值．

17. 难度：中等

某供应商送来15个音响，其中有3个是次品．工人安装音响时，从中任取一个，当取到合格品才能安装，若取出的是次品，则不再放回．
（Ⅰ）求最多取2次就能安装的概率；
（Ⅱ）求在取得合格品前已取出的次品数ξ的分布列和期望．

18. 难度：中等

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E为AB的中点．
（Ⅰ）求证二面角E-PC-D为直二面角；
（Ⅱ）求点D到面PEC的距离．

19. 难度：中等

求由直线y=0，x=1，y=x所交成的三角形的内切圆的方程．

20. 难度：中等

设a为正实数，函数f（x）=x³-ax²-a²x+1，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数y=f（x）至多有两个零点，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）若数列{a_n}的通项公式为，求数列{a_n}的前m项和S_m；
（Ⅲ）设数列{b_n}满足：，设，若（Ⅱ）中的S_m满足对任意不小于2的正整数n，S_m＜T_n恒成立，试求m的最大值