2009年山东省聊城市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

给定下列结论：其中正确的个数是（ ）
①用20cm长的铁丝折成的矩形最大面积是25cm²；
②命题“所有的正方形都是矩形”的否定是“所有的正方形都不是矩形”；
③函数y=2^-x与函数的图象关于直线y=x对称．
A．0
B．1
C．2
D．3

2. 难度：中等

已知M={y|y=i²ⁿ，n∈N^*}（其中i为虚数单位），，P={x|x²＞1，x∈R}，则以下关系中正确的是（ ）
A．M∪N=P
B．∁_RM=P∪N
C．P∩N=M
D．∁_R（P∩N）=∅

3. 难度：中等

若a＞2，则函数f（x）=x³-ax²+1在区间（0，2）上恰好有（ ）
A．0个零点
B．1个零点
C．2个零点
D．3个零点

4. 难度：中等

如果执行如图所示的程序框图，那么输出的S=（ ）

A．1
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在△ABC中，已知向量，，则△ABC的面积等于（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

2008年北京奥运会期间，计划将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（ ）
A．540
B．300
C．150
D．180

7. 难度：中等

某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

两个正数a、b的等差中项是5，等比例中项是4，若a＞b，则双曲线-=1的离心率e等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

给出下列四个命题，其中正确的一个是（ ）
A．在线性回归模型中，相关指数R²=0.80，说明预报变量对解释变量的贡献率是80%
B．在独立性检验时，两个变量的2×2列联表中对角线上数据的乘积相差越大，说明这两个变量没有关系成立的可能性就越大
C．相关指数R²用来刻画回归效果，R²越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差
D．随机误差e是衡量预报精确度的一个量，它满足E（e）=0

10. 难度：中等

已知函数f（x）=4-x²，g（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，g（x）=log₂x，则函数y=f（x）•g（x）的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知在平面直角坐标系中，O（0，0），A（1，-2），B（1，1），C（2，-1），动点M（x，y）满足条件，则的最大值为（ ）
A．-1
B．0
C．3
D．4

12. 难度：中等

一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn=nm”类比得到“•=•”；
②“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（+）•=•+•”；
③“t≠0，mt=nt⇒m=n”类比得到“≠0，•=•⇒=”；
④“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“|•|=||•||”．
以上类比得到的正确结论的序号是    （写出所有正确结论的序号）．

14. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S=（b²+c²-a²），则∠A=    ．

15. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0），过点M（2p，0）的直线与抛物线相交于A，B，=    ．

16. 难度：中等

电视机的使用寿命显像管开关的次数有关．某品牌电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是0.96，开关了15000次后还能继续使用的概率是0.80，则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设函数f（x）=sinxcosx+cos²x+a．
（1）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）当x∈[-，]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为，求f（x）的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积．

18. 难度：中等

某校有一贫困学生因病需手术治疗，但现在还差手术费1.1万元，团委计划在全校开展爱心募捐活动，为了增加活动的趣味性吸引更多学生参与，特举办“摇奖100%中奖”活动．凡捐款10元者，享受一次摇奖机会，如图是摇奖机的结构示意图，摇奖机的旋转盘是均匀的，扇形区域A，B，C，D，E所对应的圆心角的比值分别为1：2：3：4：5．相应区域分别设立一、二、三、四、五等奖，奖品分别为价值分别为5元、4元、3元、2元、1元的学习用品．摇奖时，转动圆盘片刻，待停止后，固定指针指向哪个区域（边线忽略不计）即可获得相应价值的学习用品（如图指针指向区域C，可获得价值3元的学习用品）．
（Ⅰ）预计全校捐款10元者将会达到1500人次，那么除去购买学习用品的款项后，剩余款项是否能帮助该生完成手术治疗？
（Ⅱ）如果学生甲捐款20元，获得了两次摇奖机会，求他获得价值6元的学习用品的概率．

19. 难度：中等

如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，侧棱DD₁⊥平面ABCD，DD₁=2．
（Ⅰ）求证：B₁B∥平面D₁AC；
（Ⅱ）求二面角B₁-AD₁-C的余弦值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=（a，b为实数，且a＞1）在区间[-1，1]上的最大值为1，最小值为-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）-mx在区间[-2，2]上为减函数，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

过点P（1，0）作曲线C：y=x^k（x∈（0，+∞），k∈N^*，k＞1）的切线，切点为M₁，设M₁在x轴上的投影是点P₁；又过点P₁作曲线C的切线，切点为M₂，设M₂在x轴上的投影是点P₂；…；依此下去，得到一系列点M₁，M₂，…M_n，…；设它们的横坐标a₁，a₂，…，
a_n…构成数列为{a_n}．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）当k=2时，令，求数列{b_n}的前n项和S_n．

22. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于直线l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）设C₂与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C₂上，且满足，求的取值范围．