2011年山东省烟台市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，5}，A={1，3，5}，B={2，3}，则集合{1，5}等于（ ）
A．（∁_∪B）∩B
B．（∁_UA）∩B
C．（∁_UA）∩B
D．（∁_UB）∪A

2. 难度：中等

已知复数，是z的共轭复数，则的模等于（ ）
A．4
B．2
C．1
D．

3. 难度：中等

已知双曲线的左支上一点M到右焦点F₂的距离为18，N是线段MF₂的中点，O是坐标原点，则|ON|等于（ ）
A．4
B．2
C．1
D．

4. 难度：中等

如图1，一个“半圆锥”的主视图是边长为2的正三角形，左视图是直角三角形，俯视图是半圆及其圆心，这个几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．2π
D．

5. 难度：中等

设f（x）=sinx，f₁（x）=f′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x），n∈N，则f₂₀₁₁（x）=（ ）
A．sin
B．-sin
C．cos
D．-cos

6. 难度：中等

已知函数f（x）=sinπx的图象的一部分如下方左图，则下方右图的函数图象所对应的函数解析式为（ ）

A．
B．y=f（2x-1）
C．
D．

7. 难度：中等

已知a、b为实数，则”a=b”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

在某路段检测点对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为如图所示的频率分布直方图，则车速不小于90km/h的汽车有辆．（ ）

A．60
B．90
C．120
D．150

9. 难度：中等

圆x²+y²+4x-4y+4=0关于直线x-y+2=0对称的圆的方程是（ ）
A．x²+y²=4
B．x²+y²-4x+4y=0
C．x²+y²=2
D．x²+y²-4x+4y-4=0

10. 难度：中等

下列命题中真命题的是（ ）
A．常数列既是等差数列，又是等比数列
B．实数等差数列中，若公差d＜0，则数列必是递减数列
C．实数等比数列中，若公比q＞1，则数列必是递增数列
D．首项为a₁，公比为q的等比数列的前n项和为

11. 难度：中等

设偶函数f（x）满足f（x）=2^x-4（x≥0），则{x|f（x-2）＞0}=（ ）
A．{x|x＜-2或x＞4}
B．{x|x＜0或x＞4}
C．{x|x＜0或x＞6}
D．{x|x＜-2或x＞2}

12. 难度：中等

对任意的实数a，b，记max{a，b}=，若F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中奇函数y=f（x）在x=1时有极小值-2，y=g（x）是正比例函数，函数y=f（x）（x≥0）与函数y=g（x）的图象如图所示，则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是（ ）

A．y=F（x）为奇函数
B．y=F（x）有极大值F（1）且有极小值F（-1）
C．y=F（x）在（-3，0）上不是单调函数
D．y=F（x）的最小值为-2且最大值为2

二、填空题

13. 难度：中等

如图所示的算法流程图中，若f（x）=2^x，g（x）=x²，则h（3）的值等于    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，设D是由不等式组表示的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E中随机投一点，则所投点落在D中的概率是    ．

15. 难度：中等

已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且a=1，∠B=45°，S_△ABC=2，则b=    ．

16. 难度：中等

已知直线x+2y=2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P（a，b）在线段AB上，则ab的最大值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）asinxcosx+4cos²x，x∈R，f．
（Ⅰ）求常数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和最大值．

18. 难度：中等

某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．
（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（Ⅲ）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69，70，70，72，74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．

19. 难度：中等

如图：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面正三角形ABC的边长为3，D为侧棱BB₁的中点，且DB=2，∠ABD=90°，DA=DC．
（1）证明：平面AC₁D⊥平面AA₁C₁C；
（2）求三棱锥A₁-AC₁D的体积．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足条件2S_n=3（a_n-1），其中n∈N^*．
（1）求证：数列{a_n}成等比数列；
（2）设数列{b_n}满足b_n=log₃a_n． 若 c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和．

21. 难度：中等

已知椭圆C：，F₁，F₂分别为左，右焦点，离心率为，点A在椭圆C上，，，过F₂与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在线段OF₂上是否存在点M（m，0），使得以线段MP，MQ为邻边的四边形是菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

已知函f（x）=x²-8lnx，g（x）=-x²+14x
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）与g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，求a的取值范围；
（3）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，试求实数m的值．