2007年山东省威海市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数（i是虚数单位）等于（ ）
A．4+3i
B．4-3i
C．-4+3i
D．-4-3i

2. 难度：中等

老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学和进行作业检查，这种抽样方法是（ ）
A．随机抽样
B．分层抽样
C．系统抽样
D．以上都是

3. 难度：中等

设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为y=±2x，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．

4. 难度：中等

图为一个几何体的三视国科，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知圆C与圆x²+y²-2y=0关于直线x-y-2=0对称，则圆C的方程是（ ）
A．（x+1）²+y²=1
B．（x-3）²+（y+2）²=1
C．（x+3）²+（y-2）²=1
D．（x+2）²+（y-3）²=1

6. 难度：中等

不等式的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知x、y满足约束条件，那么u=5x+4y的最小值为（ ）
A．9
B．20
C．
D．

8. 难度：中等

已知x＞0，y＞0，lg2^x+lg8^y=lg2，则的最小值是（ ）
A．2
B．2
C．4
D．2

9. 难度：中等

要得到函数y=sin（-2x）的图象，只需将函数y=cos2x的图象（ ）
A．向右平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向左平移个单位

10. 难度：中等

图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知球的表面积等于16π，圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，圆台的轴截面的底角为，则圆台的轴截面的面积是（ ）
A．9π
B．
C．3
D．6

12. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，则“f（x）是周期函数”的一个充要条件是（ ）
A．f（x）=cos
B．∀α∈R，f（α+x）=f（α-x）
C．f（1+x）=f（1-x）
D．∃α∈R（α≠0），f（α+x）=f（α-x）

二、填空题

13. 难度：中等

已知图所示的矩形，其长为12，宽为5．在矩形内随同地措施1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗．则可以估计出阴影部分的面积约为    ．

14. 难度：中等

定积分=    ．

15. 难度：中等

已知6名同学中恰有两名女同学，从这6名同学中任选两个参加某项活动，则在选出的同学中至少包括一名女同学的概率是    ．

16. 难度：中等

已知在（1-2x）ⁿ的展开式中，各项的二项式系数之和是64，则（1-2x）ⁿ（1-x）的展开式中，x⁴项的系数是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A为锐角，且+cos²A．
（1）求f（A）的最大值；
（2）若，求△ABC的三个内角和AC边的长．

18. 难度：中等

（理）某单位有8名员工，其中有5名员工曾经参加过一种或几种技能培训，另外3名员工没有参加过任何技能培训，现要从8名员工中任选3人参加一种新的技能培训；
（I）求恰好选到1名曾经参加过技能培训的员工的概率；
（Ⅱ）这次培训结束后，仍然没有参加过任何技能培训的员工人数X是一个随机变量，求X的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=BB₁，D为AC的中点．
（I）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）若AC₁⊥平面A₁BD，求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅲ）在（II）的条件下，求二面角B-A₁C₁-D的大小．

20. 难度：中等

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求证：λ₁+λ₂为定值．

21. 难度：中等

已知a₁，a₂，…，a₈是首项为1，公比为2的等比数列，对于1≤k＜8的整数k，数列b₁，b₂，…，b₈由b_n=．
（I）求k=3时C的值（求出具体的数值）；
（Ⅱ）求C最小时k的值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=[tln（x+2）-ln（x-2）]，且f（x）≥f（4）恒成立．
（1）求t的值；
（2）求x为何值时，f（x）在[3，7]上取得最大值；
（3）设F（x）=aln（x-1）-f（x），若F（x）是单调递增函数，求a的取值范围．