2009年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

化简i（2i-1）=（ ）
A．-2+i
B．2+i
C．-2+i
D．-2-i

2. 难度：中等

为了了解学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示，根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为（ ）

A．300
B．350
C．420
D．450

3. 难度：中等

已知命题p：“∀x∈[1，2]，x²-a≥0”，命题q：“存在x∈R，使x²+2ax+2-a=0”若命题“q且p”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a≤-2或a=1}
B．{a|a≥1}
C．{a|a≤-2或1≤a≤2}
D．{a|a≤-2≤1}

4. 难度：中等

下面程序运行后，输出的值是（ ）

A．42
B．43
C．44
D．45

5. 难度：中等

设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（ ）
A．若AC与BD共面，则AD与BC共面
B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线
C．若AB=AC，DB=DC，则AD=BC
D．若AB=AC，DB=DC，则AD⊥BC

6. 难度：中等

若tanα+=，α∈（，），则sin（2α+）的值为（ ）
A．-
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知实数x，y满足，如果目标函数z=x-y的最小值为-1，则实数m等于（ ）
A．7
B．5
C．4
D．3

8. 难度：中等

如图在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，三棱锥A₁-ABC的面是直角三角形的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

已知m＜0，f（x）=mx³+，且f′（1）≥-18，则实数m等于（ ）
A．-9
B．-3
C．3
D．9

10. 难度：中等

已知曲线C：y=2x²，点A（0，-2）及点B（3，a），从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是（ ）
A．（4，+∞）
B．（-∞，4）
C．（10，+∞）
D．（-∞，10）

11. 难度：中等

下图是把二进制的数11111_（2）化成十进制数的-个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ）

A．i≤4
B．i≤5
C．i＞4
D．i＞5

12. 难度：中等

如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m（0＜a＜12）、4m，不考虑树的粗细．现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD．设此矩形花圃的最大面积为S，若将这棵树围在花圃内，则函数S=f（a）（单位m²）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

在△ABC中，AB=2，AC=，BC=1+，AD为边BC上的高，则AD的长是     ．

14. 难度：中等

已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则=    ．

15. 难度：中等

P为双曲线x²-=1右支上一点，M、N分别是圆（x+4）²+y²=4和（x-4）²+y²=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为    ．

16. 难度：中等

已知S_n是公差为d的等差数列{a_n}的前n项和，且S₆＞S₇＞S₅，则下列四个命题：①d＜0；②S₁₁＞0；③S₁₂＜0；④S₁₃＞0中真命题的序号为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知=（2，cosx），=（sin（x+），-2），函数f（x）=•．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若f（x）=，求cos（2x-）的值．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=，点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，其中n=1，2，3，…．
（1）令b_n=a_n+1-a_n-1，求证数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项．

19. 难度：中等

在甲、乙两个盒子里分别装有标号为1、2、3、4的四个小球，现从甲、乙两个盒子里各取出1个小球，每个小球被取出的可能性相等．
（1）求取出的两个小球上标号为相邻整数的概率；
（2）求取出的两个小球上标号之和能被3整除的概率；
（3）求取出的两个小球上标号之和大于5整除的概率．

20. 难度：中等

如图所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB₁上一点．
（1）求证：B₁D₁∥面A₁BD；
（2）求证：MD⊥AC；
（3）试确定点M的位置，使得平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=
（1）求函数f（x）的单调增区间．
（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为，求实数a的值．

22. 难度：中等

如图，点F是椭圆的左焦点，A、B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为．点C在x轴上，BC⊥BF，且B、C、F三点确定的圆M恰好与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F作一条与两坐标轴都不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点，在x轴上是否存在定点N，使得NF恰好为△PNQ的内角平分线，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．