2007年广东省汕头市高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B=（ ）
A．{1}
B．{1，4}
C．{2，3}
D．{1，2，3，4}

2. 难度：中等

一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，一学生到达该路口时，见到红灯的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

将一张坐标纸折叠一次，使点（2，0）与（2，4）重合，则与点（-4，1）重合的点是（ ）
A．（4，-1）
B．（-4，3）
C．（-4，-3）
D．（8，3）

4. 难度：中等

圆（x+1）²+（y-4）²=1关于直线y=x对称的圆是（ ）
A．（x-1）²+（y+4）²=1
B．（x-4）²+（y+1）²=1
C．（x+4）²+（y-1）²=1
D．（x-1）²+（y-4）²=1

5. 难度：中等

200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过70km/h的汽车数量为（ ）
A．1辆
B．10辆
C．20辆
D．70辆

6. 难度：中等

复数z₁=1+i，z₂=2-i，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x），对任意x，y∈R满足f（x）+f（y）=f（x+y），则（ ）
A．f（x）为奇函数
B．f（x）为偶函数
C．f（x）既为奇函数又为偶函数
D．f（x）既非奇函数又非为偶函数

8. 难度：中等

已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是（ ）
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交

9. 难度：中等

某学生从家去学校，开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下图中纵轴表示他与校的距离，横轴表示所用的时间，则符合上述情况的图形可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

下列关系式中，能使α存在的关系式是（ ）
A．sinα+cosα=
B．（cosα+sinα）（cosα-sinα）=
C．cosα
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知球的表面积为12π，则该球的体积是    ．

12. 难度：中等

已知向量，满足||=1，||=2，|-|=2，则|+|=    ．

13. 难度：中等

如图给出一个程序框图，其运行结果是    ．

14. 难度：中等

椭圆的离心率是    ．

15. 难度：中等

如图，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，AB=3，BC=2，则切线AD的长为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=3^a_n，求证：数列{b_n}是等比数列．

17. 难度：中等

过椭圆x²+2y²=2的左焦点引一条倾斜角为45的直线，求以此直线与椭圆的两个交点及椭圆中心为顶点的三角形的面积．

18. 难度：中等

如图，要计算西湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得AD⊥CD，AD=10km，AB=14km，∠BDA=60°，∠BCD=135°，求两景点B与C的距离（精确到0.1km）．
参考数据：．

19. 难度：中等

设x=log₂（sinθ+cosθ），θ∈（0，）．
（I）求x的取值范围；
（Ⅱ）设y=，试问当θ变化时，y有没有最小值，如果有，求出这个最小值，如果没有，说明理由．

20. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为DD₁的中点，O为AC的中点，AB=2．
（I）求证：BD₁∥平面ACM；
（Ⅱ）求证：B₁O⊥平面ACM；
（Ⅲ）求三棱锥O-AB₁M的体积．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+3（m+2）x+1，其中m∈R．
（I）若m＜0，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在（I）的条件下，当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）=mx³-（3m+2）x²+3mx+4lnx+m+1，问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．