2007年山东省烟台市高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数Z₁=a+2i，Z₂=-2+i，如果|Z₁|＜|Z₂|，则实数a的取值范围是（ ）
A．-1＜a＜1
B．a＞1
C．a＞0
D．a＜-1或a＞1

2. 难度：中等

对于线性相关系数r，以下说法正确的是（ ）
A．r只能为正值，不能为负值
B．|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；相反则越小
C．|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越小；相反则越大
D．以上均不对

3. 难度：中等

设集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是（ ）
A．16
B．8
C．7
D．4

4. 难度：中等

若f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的反函数g（x）满足：g（）＜0，则函数f（x）的图象向左平移一个单位后的图象大致是下图中的（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

算法
S1：输入n
S2：判断n是否是2；若n=2，则n满足条件；若n＞2，则执行S3
S3：依次从2到n-1检验能不能整除n，若不能整除则n满足条件，
上述的满足条件是什么（ ）
A．质数
B．奇数
C．偶数
D．4的倍数

6. 难度：中等

在等差数列{a_n}和等比数列{b_n}的首项均为1，且公差d＞0，公比q＞1，则集合{n|a_n=b_n}（n∈N₊）中的元素最多有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

7. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₂₀₀=100，A、B、C为平面内三点，点O为平面外任意一点，若，则A、B、C（ ）
A．共线
B．不共线
C．共线与否和点O的位置有关
D．位置关系不能确定

8. 难度：中等

已知双曲线的焦点为F₁、F₂，点M在双曲线上且，则点M到x轴的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设a＜0，两直线x-a²y+1=0与（a²+1）x+by+3=0垂直，则ab的最大值为（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

10. 难度：中等

在正三棱锥A-BCD中，E、F分别为棱AB、CD的中点，设EF与AC所成角为α，EF与BD所成角为β，则α+β等于（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

在约束条件下，当3≤s≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是（ ）

A．[6，15]
B．[7，15]
C．[6，8]
D．[7，8]

12. 难度：中等

如果一个三位正整数如“a₁a₂a₃”满足a₁＜a₂且a₃＜a₂，则称这样的三位数为凸数（如120，343，275等），那么所有凸数个数为（ ）
A．240
B．204
C．729
D．920

二、填空题

13. 难度：中等

有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘的序号   

14. 难度：中等

设命题p：c²＜c和命题q：对∀x∈R，x²+4cx+1＞0，若p和q有且仅有一个成立，则实数c的取值范围是     ．

15. 难度：中等

给出下列命题：
①存在实数a，使sinacosa=1；
②存在实数a，使sina+cosa=
③y=sin（）是偶函数；
④x=是函数y=sin（2x+）的一条对称轴方程；
⑤若α、β是第一象限角，则tanα＞tanβ
其中正确命题的序号是    ．（注：把所有正确命题的序号都填上）

16. 难度：中等

设函数f（x）=x²+x+a（a＞0）满足f（m）＜0则f（m+1）的符号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量=（1，1），向量与向量的夹角为，且=-1．
（1）求向量；
（2）若向量与=（1，0）的夹角为，向量=（cosA，2cos²），其中A，C为△ABC的内角，且A+C=，求||的最小值．

18. 难度：中等

一个多面体的直观图（正视图、侧视图，俯视图）如图所示，M，N分别为A₁B，B₁C₁的中点．
（1）求证：MN∥平面ACC₁A₁；
（2）求证：MN⊥平面A₁BC；
（3）求二面角A-A₁B-C的大小．

19. 难度：中等

现有一批货物用轮船从上海洋山深水港运往青岛，已知该船航行的最大速度为35海里/小时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时运输成本由燃料费用和其余费用组成、轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用每小时960元，
（1）把全程运输费用y（元）表示为速度x（海里/小时）的函数；
（2）为了使全程运输成本最低，轮船应以多大速度行驶？

20. 难度：中等

已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为D（2，0），设点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
（3）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值．

21. 难度：中等

数列{a_n}满足递推式a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2），其中a₄=365，
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；  
（Ⅱ）若存在一个实数λ，使得为等差数列，求λ值；
（Ⅲ）求数列{a_n}的前n项之和．

22. 难度：中等

已知R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx（a＜b＜c），在x=1时取得极值，且y=f（x）的图象上有一点处的切线斜率为-a．
（1）证明：0≤＜1；
（2）若f（x）在区间（s，t）上为增函数，证明：1≥t＞s＞-2且t-s＜3；
（3）对任意满足以上条件的a，b，c，若不等式f′（x）+a＜0对任意x≥k恒成立，求k的取值范围．