2009年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数（i是虚数单位）的实部是（ ）
A．
B．-
C．
D．-

2. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），且a₃+a₆+a₁₀+a₁₃=32，若a_m=8，则m为（ ）
A．12
B．8
C．6
D．4

3. 难度：中等

已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面有三个命题：
①α∥β⇒l⊥m；
②α⊥β⇒l∥m；
③l∥m⇒α⊥β； 
则真命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

4. 难度：中等

如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设点，则（O为坐标原点）的最小值是（ ）
A．
B．
C．5
D．3

6. 难度：中等

学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为（ ）
A．100
B．1000
C．90
D．900

7. 难度：中等

已知（x²+）ⁿ的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x的系数为（ ）
A．5
B．10
C．20
D．40

8. 难度：中等

若如图的程序框图输出的S是126，则①应为（ ）
A．n≤5
B．n≤6
C．n≤7
D．n≤8

9. 难度：中等

已知a∈R，则“a＜2”是“|x-2|+|x|＞a恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

10. 难度：中等

设函数f（x）=sin（2x+），则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的图象关于直线x=对称
B．f（x）的图象关于点（，0）对称
C．把f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象
D．f（x）的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数

11. 难度：中等

已知点F、A分别为双曲的左焦点、右顶点，点B（0，b）满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知直线x=2及x=4与函数y=log₂x图象的交点分别为A，B，与函数y=lgx图象的交点分别为C，D，则直线AB与CD（ ）
A．相交，且交点在第I象限
B．相交，且交点在第II象限
C．相交，且交点在第IV象限
D．相交，且交点在坐标原点

二、填空题

13. 难度：中等

=    ．

14. 难度：中等

已知sin（-x）=，则sin2x的值为     ．

15. 难度：中等

已知集合A={x|x²-x-12≤0，x∈Z}，从集合A中任选三个不同的元素a，b，c组成集合M，则能够满足a+b+c=0的集合M的概率为=    ．

16. 难度：中等

设x₁＜x₂，定义区间[x₁，x₂]的长度为x₂-x₁，已知函数y=2^|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为   

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，已知sinA=．
（1）若a²-c²=b²-mbc，求实数m的值；
（2）若a=，求△ABC面积的最大值．

18. 难度：中等

在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，设O为坐标原点，点P的坐标为（x-2，x-y），记ξ=．
（I）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³-3x²+1-（a∈R且a≠0），试求函数f（x）的极大值与极小值．

20. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，．
（Ⅰ）当a=1时，求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）若BC边上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD，求此时二面角A-PD-Q的余弦值．

21. 难度：中等

已知A，B，C均在椭圆上，直线AB、AC分别过椭圆的左右焦点F₁、F₂，当时，有．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设是椭圆M上的任一点，EF为圆N：x²+（y-2）²=1的任一条直径，求的最大值．

22. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n=2•3ⁿ+k（k∈R，n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足a_n=4，T_n为数列{b_n}的前n项和，试比较3-16T_n与 4（n+1）b_n+1的大小，并证明你的结论．