2010年上海市春季高考数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

函数的最小正周期T=    ．

2. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+2x是奇函数，则实数a=    ．

3. 难度：中等

计算：=    （i为虚数单位）．

4. 难度：中等

已知集合A={x||x|＜2}，B={x|＞0}，则A∩B=    ．

5. 难度：中等

若椭圆+=1上一点P到焦点F₁的距离为6，则点P到另一个焦点F₂的距离是    ．

6. 难度：中等

某社区对居民进行上海世博会知晓情况分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人，若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是    ．

7. 难度：中等

已知双曲线C经过点C（1，1），它的一条渐近线方程为．则双曲线C的标准方程是    ．

8. 难度：中等

在（2x²+）⁶的二项展开式中，常数项是    ．

9. 难度：中等

连续两次掷骰子，出现点数之和等于4的概率为    （结果用数值表示）．

10. 难度：中等

各棱长为1的正四棱锥的体积V=    ．

11. 难度：中等

方程=0的解集为    ．

12. 难度：中等

根据所示的程序框图（其中[x]表示不大于x的最大整数），输出r=    ．

13. 难度：中等

在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S=    cm²．

14. 难度：中等

设n阶方阵
A_n=
任取A_n中的一个元素，记为x₁；划去x₁所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n-1阶方阵A_n-1，任取A_n-1中的一个元素，记为x₂；划去x₂所在的行和列，…；将最后剩下的一个元素记为x_n，记S_n=x₁+x₂+…+x_n，则S_n=x₁+x₂+…+x_n，则=    ．

二、选择题

15. 难度：中等

若空间三条直线a、b、c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c（ ）
A．一定平行
B．一定相交
C．一定是异面直线
D．平行、相交、是异面直线都有可能

16. 难度：中等

（上海春卷16）已知a₁，a₂∈（0，1），记M=a₁a₂，N=a₁+a₂-1，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＜N
B．M＞N
C．M=N
D．不确定

17. 难度：中等

已知抛物线C：y²=x与直线l：y=kx+l，k≠0“”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件；
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

18. 难度：中等

（上海春卷18）已知函数f（x）=的图象关于点P对称，则点P的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．（0，0）

三、解答题

19. 难度：中等

已知tanα=a，（a＞1），求的值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=log_a（8-2^x）（a＞0且a≠1）
（1）若函数f（x）的反函数是其本身，求a的值；
（2）当a＞1时，求函数y=f（x）+f（-x）的最大值．

21. 难度：中等

已知地球半径约为6371千米．上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°，里斯本的位置约为西经10°、北纬39°．
（1）若飞机以平均速度720千米/小时，飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0.1小时）？
（2）求大连与里斯本之间的球面距离（结果精确到1千米）

22. 难度：中等

在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义=-．
（1）若=（2，3），=（-1，3），求；
（2）若=（2，1），证明：若位置向量的终点在直线Ax+By+C=0上，则位置向量的终点也在一条直线上；
（3）已知存在单位向量，当位置向量的终点在抛物线C：x²=y上时，位置向量终点总在抛物线C′：y²=x上，曲线C和C′关于直线l对称，问直线l与向量满足什么关系？

23. 难度：中等

已知首项为x₁的数列{x_n}满足x_n+1=（a为常数）．
（1）若对于任意的x₁≠-1，有x_n+2=x_n对于任意的n∈N^*都成立，求a的值；
（2）当a=1时，若x₁＞0，数列{x_n}是递增数列还是递减数列？请说明理由；
（3）当a确定后，数列{x_n}由其首项x₁确定，当a=2时，通过对数列{x_n}的探究，写出“{x_n}是有穷数列”的一个真命题（不必证明）．说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．