2013年山东省日照市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M={x|lgx＞0}，N={x||x|≤2}，则M∩N=（ ）
A．（1，2]
B．[1，2）
C．（1，2）
D．[1，2]

2. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

若PQ是圆x²+y²=9的弦，PQ的中点是（1，2）则直线PQ的方程是（ ）
A．x+2y-5=0
B．x+2y-3=0
C．2x-y+4=0
D．2x-y=0

4. 难度：中等

已知命题p：“1，b，9成等比数列”，命题q：“b=3”，那么p成立是q成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又非必要条件

5. 难度：中等

已知函数y=sinax+b（a＞0）的如图如图所示，则函数y=log_a（x+b）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知函数f（x）是R上的奇函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=log₂（x+1）时，f（-2013）+f（2012）的值为（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

7. 难度：中等

如图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为的矩形，则该几何体的表面积是（ ）

A．8
B．
C．16
D．

8. 难度：中等

设的展开式中的常数项为a，则直线y=ax与曲线y=x²围成图形的面积为（ ）
A．
B．9
C．
D．

9. 难度：中等

已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若实数x，y满足，如果目标函数z=x-y的最小值为-2，则实数m=（ ）
A．8
B．0
C．4
D．-8

11. 难度：中等

如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（ ）
A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点
B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个
C．λ+μ的最大值为3
D．λ+μ的最小值不存在

12. 难度：中等

定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，若x∈[-4，-2]时，恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．[-2，0）∪（0，l）
B．[-2，0）∪[l，+∞）
C．[-2，l]
D．（-∞，-2]∪（0，l]

二、填空题

13. 难度：中等

若，且α是第二象限角，则tanα=    ．

14. 难度：中等

某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为     万元．

15. 难度：中等

记S_k=1^k+2^k+3^k+…+n^k，当k=1，2，3，…时，观察下列等式：S₁=n，S₂=n，S₃=，S₄=n，S₅=An⁶+，…可以推测，A-B=    ．

16. 难度：中等

给出下列四个命题：
①若x＞0，且x≠1则；
②设x，y∈R，命题“若xy=0，则x²+y²=0”的否命题是真命题；
③若函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是，则f（1）+f'（1）=3；
④已知抛物线y²=4px（p＞0）的焦点F与双曲线的一个焦点重合，点A是两曲线的交点，AF⊥x轴，则双曲线的离心率为．
其中所有真命题的序号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量=（-cosB，sinC），=（-cosC，-sinB），且．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b+c=4，△ABC的面积，求a的值．

18. 难度：中等

某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标	[70，76）	[76，82）	[82，88）	[88，94）	[94，100]
芯片甲	8	12	40	32	8
芯片乙	7	18	40	29	6

（I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；
（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（I）的前提下，
（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；
（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．

19. 难度：中等

如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=a，PD=a．
（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；
（2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小．

20. 难度：中等

若数列{b_n}：对于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常数），则称数列{b_n}是公差为d的准等差数列．如：若c_n=是公差为8的准等差数列．
（I）设数列{a_n}满足：a₁=a，对于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．求证：{a_n}为准等差数列，并求其通项公式：
（Ⅱ）设（I）中的数列{a_n}的前n项和为S_n，试研究：是否存在实数a，使得数列S_n有连续的两项都等于50．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知长方形ABCD，AB=2．以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy．
（I）求以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆P的标准方程；
（Ⅱ）已知定点E（-1，0），直线y=kx+t与椭圆P交于M、N相异两点，证明：对作意的t＞0，都存在实数k，使得以线段MN为直径的圆过E点．

22. 难度：中等

已知函数g（x）=，f（x）=g（x）-ax．
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；
（3）若存在x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f^′（x₂）+a，求实数a的取值范围．