2007年广东省湛江市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列语句不属于基本算法语句的是（ ）
A．赋值语句
B．运算语句
C．条件语句
D．循环语句

2. 难度：中等

已知i是虚数单位，那么=（ ）
A．i
B．-i
C．1
D．-1

3. 难度：中等

已知A、B是两个集合，它们的关系如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．A∪B=B
B．A∩B=A
C．（∁_AB）∪B=A
D．（∁_AB）∩A=B

4. 难度：中等

空间四点A、B、C、D共面的一个充分不必要条件是（ ）
A．AB∥CD
B．ABCD构成四边形
C．AB=CD
D．AC⊥BD

5. 难度：中等

关于数列3，9，…，729，以下结论正确的是（ ）
A．此数列不能构成等差数列，也不能构成等比数列
B．此数列能构成等差数列，但不能构成等比数列
C．此数列不能构成等差数列，但能构成等比数列
D．此数列能构成等差数列，也能构成等比数列

6. 难度：中等

甲、乙两名学生在5次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若、分别表示甲、乙两人的平均成绩，则下列结论正确的是（ ）

A．＞，乙比甲稳定
B．＞，甲比乙稳定
C．＜，乙比甲稳定
D．＜，甲比乙稳定

7. 难度：中等

以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

函数y=Asinωxcosωx（A＞0，ω＞0）的最小正周期是π，最大值是2，则函数的一个单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

若，则t∈    ．

10. 难度：中等

已知（x+a）³与（x-5）⁶的展开式中，x²的系数相同，那么log₅a=    ．

11. 难度：中等

给出平面区域如图所示，若点C是目标函数z=ax-y取最小值的唯一最优解，则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

下列四个函数：
①；
②f（x）=2^x；
③；
④．
其中为奇函数的是    ；在（1，+∞）上单调递增的函数是    （分别填写所有满足条件的函数序号）

13. 难度：中等

已知直线l的参数方程为（t为参数），则此直线的倾斜角α=    ；又半径为2，经过原点O的圆C，其圆心在第一象限并且在直线l上，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的极坐标方程为    ．

14. 难度：中等

若关于x的不等式|x-2|-|x-5|＞k的解集不是空集，则实数k的取值区间为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，⊙O中，直径AB和弦DE互相垂直，C是DE延长线上一点，连接BC与圆0交于F，若∠CFE=α（），则∠DEB    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知平面向量=（1，x），=（2x+3，-x）（x∈R）．
（1）若⊥，求x的值；   
（2）若∥，求|-|．

17. 难度：中等

已知△ABC中，B=C=，记cosA=x，cosB=cosC=y．
（Ⅰ）求证：1+y=2x²；
（Ⅱ）若△ABC的面积等于2sin，求AC边上的中线BD的长．

18. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB∥MN，PD⊥底面ABCD，，直线PA与底面ABCD成60°角，点M，N分别是PA、PB的中点．
（Ⅰ）求二面角P-MN-D的大小；
（Ⅱ）当的值为多少时，∠CND为直角？

19. 难度：中等

烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染．已知A、B两座烟囱相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比．（比例系数为k）．若C是AB连线上的点，设AC=x km，C点的烟尘浓度记为y．
（Ⅰ）写出y关于x的函数表达式；
（Ⅱ）是否存在这样的点C，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC的距离；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

如图，F是定直线l外的一个定点，C是l上的动点，有下列结论：若以C为圆心，CF为半径的圆与l相交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与圆C过F的切线相交于点P和点Q，则必在以F为焦点，l为准线的同一条抛物线上．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求出该抛物线的方程；
（Ⅱ）对以上结论的反向思考可以得到另一个命题：“若过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于P、Q两点，则以PQ为直径的圆一定与抛物线的准线l相切”请问：此命题是正确？试证明你的判断；
（Ⅲ）请选择椭圆或双曲线之一类比（Ⅱ）写出相应的命题并证明其真假．（只选择一种曲线解答即可，若两种都选，则以第一选择为平分依据）

21. 难度：中等

有一个翻硬币游戏，开始时硬币正面朝上，然后掷骰子根据下列①、②、③的规则翻动硬币：①骰子出现1点时，不翻动硬币；②出现2，3，4，5点时，翻动一下硬币，使另一面朝上；③出现6点时，如果硬币正面朝上，则不翻动硬币；否则，翻动硬币，使正面朝上．按以上规则，在骰子掷了n次后，硬币仍然正面朝上的概率记为P_n．
（Ⅰ）求证：∀n∈N^*，点（P_n，P_n+1）恒在过定点（，），斜率为的直线上；
（Ⅱ）求数列{P_n}的通项公式P_n；
（Ⅲ）用记号S_n→m表示数列{}从第n项到第m项之和，那么对于任意给定的正整数k，求数列S_1→k，S_k+1→2k，…，S_{（n-1）k+1→nk}，…的前n项和T_n．