2009年山东省青岛市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数（i是虚数单位）的实部是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），且a₃+a₆+a₁₀+a₁₃=32，若a_m=8，则m是（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2

3. 难度：中等

已知a∈R，则“a＜2”是“a²＜2a”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面有三个命题：
①α∥β⇒l⊥m；
②α⊥β⇒l∥m；
③l∥m⇒α⊥β； 
则真命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

5. 难度：中等

如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为（ ）

A．90
B．100
C．900
D．1000

7. 难度：中等

在如下的程序框图中，输出S的值为（ ）
A．62
B．126
C．254
D．510

8. 难度：中等

设点P（+，1）（t＞0），则||（O为坐标原点）的最小值是（ ）
A．3
B．5
C．
D．

9. 难度：中等

根据表格中的数据，可以判定方程e^x-x-2=0的一个根所在的区间为（ ）

x	-1		1	2	3
e^x	0.37	1	2.72	7.39	20.09
x+2	1	2	3	4	5

A．（-1，0）
B．（0，1）
C．（1，2）
D．（2，3）

10. 难度：中等

已知点F、A分别为双曲的左焦点、右顶点，点B（0，b）满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

设函数f（x）=sin（2x+），则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的图象关于直线x=对称
B．f（x）的图象关于点（，0）对称
C．把f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象
D．f（x）的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数

12. 难度：中等

设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集为（ ）
A．（-1，0）∪（1，+∞）
B．（-∞，-1）∪（0，1）
C．（-∞，-1）∪（1，+∞）
D．（-1，0）∪（0，1）

二、填空题

13. 难度：中等

抛物线y=-2x²的焦点坐标为    ．

14. 难度：中等

从集合（x，y）|x²+y²≤4，x∈R，y∈R内任选一个元素（x，y），则x，y满足x+y≥2的概率为     ．

15. 难度：中等

已知sin（-x）=，则sin2x的值为     ．

16. 难度：中等

若f（x）=a^-x与g（x）=a^x-a（a＞0且a≠1）的图象关于直线x=1对称，则a=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．
（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（Ⅲ）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69，70，70，72，74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．

18. 难度：中等

已知向量=（sina，cosa），=（6sina+cosa，7sina-2cosa），设函数f（a）=•．
（1）求函数f（a）的最大值；
（2）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面积为3，b+c=2+3，求a的值．

19. 难度：中等

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，底面是边长为1的正方形，E、G、F分别是棱B₁B、D₁D、DA的中点．
（Ⅰ）求证：平面AD₁E∥平面BGF；
（Ⅱ）求证：D₁E⊥平面AEC．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³-3x²+1-（a∈R且a≠0），试求函数f（x）的极大值与极小值．

21. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n=2•3ⁿ+k（k∈R，n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足，T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_n．

22. 难度：中等

设椭圆的右焦点为F₁，直线与x轴交于点A，若（其中O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆M上的任一点，EF为圆N：x²+（y-2）²=1的任一条直径，求的最大值．