2013年山东省聊城市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围是（ ）
A．a≤2
B．a≤1
C．a≥1
D．a≥2

2. 难度：中等

已知复数z=，则|z|=（ ）
A．
B．
C．l
D．2

3. 难度：中等

一个底面是正三角形的三棱柱的侧视图如图所示，则该几何体的侧面积等于（ ）

A．
B．6
C．2
D．2

4. 难度：中等

下列说法错误的是（ ）
A．在线性回归模型中，相关指数R²取值越大，模型的拟合效果越好
B．对于具有相关关系的两个变量，相关系数r的绝对值越大，表明它们的线性相关性越强
C．命题“∃x∈R．使得x²+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x²+x+1＜0”
D．命题若x=y，则sin．r=siny”的逆否命题为真命题

5. 难度：中等

若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数m的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且A=60°，c=5，a=7，则△ABC的面积等于（ ）
A．
B．
C．10
D．10

7. 难度：中等

在下列图象中，可能是函数y=cosx+lnx²的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知{a_n}是等比数列，a₂=2，a₅=，则a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=（ ）
A．16（1-4^-n）
B．16（1-2^-n）
C．（1-4^-n）
D．（1-2^-n）

9. 难度：中等

某学校星期一每班都排9节课，上午5节、下午4节，若该校李老师在星期一这天要上3个班的课，每班l节，且不能连上3节课（第5和第6节不算连上），那么李老师星期一这天课的排法共有（ ）
A．474种
B．77种
C．462种
D．79种

10. 难度：中等

如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲y=x²和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

设e₁，e₂分别为具有公共焦点F₁与F₂的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足•=0，则4e₁²+e₂²的最小值为（ ）
A．3
B．
C．4
D．

12. 难度：中等

定义方程f（x）=f′（x）的实数根x叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x³-1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（ ）
A．γ＞α＞β
B．β＞α＞γ
C．α＞β＞γ
D．β＞γ＞α

二、填空题

13. 难度：中等

某种品牌的摄像头的使用寿命ξ（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于2年的溉率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2．某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为    ．

14. 难度：中等

（2-）⁸展开式中不含x²的所有项的系数和为    ．

15. 难度：中等

已知某算法的流程图如图所示，若将输出的（x，y）的值依次记为（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），若程序运行中输出的一个数组是（t，-8），则t为    ．

16. 难度：中等

定义min{a，b}=，实数x、y满足约束条件 ，设z=min{4x+y，3x-y}，则z的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=4sin²（x+）+4sin（x+）sin（x-）-2．
（I）求函数f（x）在[0，]上的值域；
（Ⅱ）若对于任意的x∈R，不等式f（x）≤f（x）恒成立，求sin（2x）．

18. 难度：中等

本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是为为，；两人租车时间都不会超过四小时．
（Ⅰ）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率．
（Ⅱ）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=，E、F分别为线段PD和BC的中点
（I）求证：CE∥平面PAF；
（Ⅱ）求二面角A-PB-C的大小．

20. 难度：中等

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n=（n≥2）
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=，数列{b_n}的前项n和为T_n，求证：T_n＜n+1．

21. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于点Q（1，0）．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ax-2lnx-
（I）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=，若存在x∈[1，e]，使得f（x）＞g（x）成立，求实数a的取值范围．