2010年浙江省台州市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

若复数（1+bi）•（2-i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=（ ）
A．-2
B．
C．
D．2

3. 难度：中等

设全集U是实数集R，M={x|x²＞4}，N={x|y=lg（x²-4x+3）}，则图中阴影部分所表示的集合是
（ ）

A．{x|-2≤x＜1}
B．{x|-2≤x≤2}
C．{x|1≤x≤2}
D．{x|x＜2}

4. 难度：中等

在（2x-）⁶的展开式中的常数项为（ ）
A．15
B．-15
C．60
D．-60

5. 难度：中等

一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）

A．3cm³
B．cm³
C．9cm³
D．cm³

6. 难度：中等

数列1，，，，…，，…的前n项和为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值是（ ）
A．5
B．6
C．8
D．9

8. 难度：中等

如图所示的算法框图执行后输出的结果是（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的导函数f′（x）在一个周期内的图象如右图，则下列函数f（x）的解析式中，满足条件的是（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知各棱长均为1的四面体ABCD中，E是AD的中点，P∈直线CE，则BP+DP的最小值为（ ）
A．1+
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知，与的夹角为45°，若，则实数λ的取值范围是    ．

12. 难度：中等

某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以    （米/秒）的速度匀速升旗．

13. 难度：中等

若实数x，y满足不等式组则z=|x+2y-10|的最小值是    ．

14. 难度：中等

若双曲线的两个焦点为F₁，F₂，P为双曲线上一点，且|PF₁|=3|PF₂|，则该双曲线离心率的取值范围是    ．

15. 难度：中等

观察下列等式：
（1+x+x²）¹=1+x+x²，
（1+x+x²）²=1+2x+3x²+2x³+x⁴，
（1+x+x²）³=1+3x+6x²+7x³+6x⁴+3x⁵+x⁶，
（1+x+x²）⁴=1+4x+10x²+16x³+19x⁴+16x⁵+10x⁶+4x⁷+x⁸，…
由以上等式推测：对于n∈N^*，若（1+x+x²）ⁿ=a+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ则a₂=    ．

16. 难度：中等

反复抛掷一个质地均匀的正方体骰子，依次记录每一次落地时骰子向上的点数，当记有三个不同点数时即停止抛掷．若抛掷四次恰好停止，则记有这四次点数的所有不同结果的种数为    ．（用数字作答）

17. 难度：中等

已知函数f（x）=，若方程f（x）+x+a=0有两个大于零的实数根，则实数a的取值范围是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足．
（I）求角A的度数；
（Ⅱ）求的取值范围．

19. 难度：中等

某电子科技公司遇到一个技术性难题，决定成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自独立进行为期一个月的技术攻关，同时决定对攻关限期内攻克技术难题的小组给予奖励．已知此技术难题在攻关期限内被甲小组攻克的概率为，被乙小组攻克的概率为．
（1）设ξ为攻关期满时获奖的攻关小组数，求ξ的分布列及数学期望Eξ；
（2）设η为攻关期满时获奖的攻关小组数与没有获奖的攻关小组数之差的平方，记“函数在定义域内单调递增”为事件C，求事件C发生的概率．

20. 难度：中等

（附加题-必做题）
四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（I）证明PA∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B-DE-C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？若存在，请求出F点的位置；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知点A（-1，0），B（1，-1），抛物线C：y²=4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M，P，直线MB交抛物线C于另一点Q．
（I）若向量与的夹角为，求△POM的面积；
（Ⅱ）证明直线PQ恒过一个定点．

22. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和“伪二次函数”g（x）=ax²+bx+clnx（a、b、c∈R，abc≠0），
（I）证明：只要a＜0，无论b取何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；
（Ⅱ）在二次函数f（x）=ax²+bx+c图象上任意取不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB中点的横坐标为x，记直线AB的斜率为k，（i）求证：k=f′（x）；（ii）对于“伪二次函数”g（x）=ax²+bx+clnx，是否有（i）同样的性质？证明你的结论．