2006-2007学年江苏省南京市金陵中学高三数学综合试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|x（x-3）＜0}，N={x||x|＜2}，则M∩N=（ ）
A．（-2，0）
B．（0，2）
C．（2，3）
D．（-2，3）

2. 难度：中等

如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的（ ）
A．平均数和方差都不变
B．平均数不变，方差改变
C．平均数改变，方差不变
D．平均数和方差都改变

3. 难度：中等

设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若α∩β=m，n∥β，n∥α，则m∥n；
②若α⊥β，n⊥α，则n∥β；
③若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β；
④若m⊥α，n⊥α，则m∥n．其中正确命题的序号是（ ）
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．①和④

4. 难度：中等

若方程x²+ax-2=0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围（ ）
A．
B．
C．[1，+∞）
D．

5. 难度：中等

设双曲线的右准线与两渐近交于A，B两点，点F为右焦点，若以AB为直径的圆经过点F，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．

6. 难度：中等

若（ ）
A．大于1
B．等于1
C．小于1
D．等于-1

7. 难度：中等

现有浓度为25%的酒精溶液一瓶，把“每次倒出半瓶，再用水加满”称为一次操作，至少须经过k次这样的操作，才能使瓶中溶液的浓度不高于1%，其中k的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

8. 难度：中等

设函数，则对任意实数a和b，a+b＜0是f（a）+f（b）＞0的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

9. 难度：中等

反复掷掷一个骰子，依次记录下每一次抛掷落地时向上的点数，当记有三个不同点数时即停止抛掷，若抛掷五次恰好停止，则记有这五次点数的所有不同记录结果的种数有（ ）
A．360种
B．600种
C．840种
D．1680种

10. 难度：中等

点P到点A及直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的取值个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．无数个

二、填空题

11. 难度：中等

函数的反函数为    ．

12. 难度：中等

设地球的半径为R，若甲地位于北纬35°东经110°，乙地位于南纬85°东经110°，则甲、乙两地的球面距离为    ．

13. 难度：中等

采用简单随机抽样，从含有8个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，个体a 前三次未被抽到，第四次被抽到的概率为    ．

14. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₄-a₂=8，a₃+a₅=26．记T_n=，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，T_n≤M都成立，则M的最小值是    ．

15. 难度：中等

已知函数①f（x）=2lnx；②f（x）=3e^cosx；③f（x）=3e^x；其中对于f（x）定义域内的任意一个自变量都存在唯一个个自变量x₂，使成立的函数是    ．（填上所有正确结论的序号）

16. 难度：中等

设z=2x+y，实数x、y满足不等式组    ，若当且仅当x=5，y=2时，z取得最大值，则不等式组中应增加的不等式可以是    ．（只要写出适合条件的一个不等式即可）

三、解答题

17. 难度：中等

在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，=（c-a，b-c）且
（1）求A的大小；
（2）记，求f（B）的取值范围．

18. 难度：中等

已知△OAB是边长为4的正三角形，CO⊥平面OAB，且CO=2，设D、E分别是OA、AB的中点．
（1）求证：OB∥平面CDE；
（2）求点B到平面CDE的距离；
（3）求二面角O-CD-E的大小．

19. 难度：中等

A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10km．已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25，若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
（1）把两城市月供电总费用y表示成x的函数，并求其定义域；
（2）核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小．（，结果保留一位小数）

20. 难度：中等

已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且，|BC|=2|AC|．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则总存在实数λ，使，请给出证明．

21. 难度：中等

设f（n，p）=C_2n^p（n，p∈N，p≤2n）．数列{a（n，p）}满足a（1，p）+a（2，p）+…+a（n，p）=f（n，p）．
（1）求证：{a（n，2）}是等差数列；
（2）求证：f（n，1）+f（n，2）+…+f（n，n）=22n-1+C_2nⁿ-1；
（3）设函数H（x）=f（n，1）x+f（n，2）x2+…+f（n，2n）x2n，试比较H（x）-H（a）与2n（1+a）2n-1（x-a）的大小．