2010年浙江省绍兴市上虞市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设x∈R，则“x=1”是“x³=x”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

若复数z=（1-i）（-2+ai）为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．-1
B．2
C．1
D．-2

3. 难度：中等

已知，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数y=f（x）•g（x）的周期为2
B．函数y=f（x）•g（x）的最大值为1
C．将f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象
D．将f（x）的图象向右平移个单位后得到g（x）的图象

4. 难度：中等

如图，在△ABC中，=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

某个容器的底部为圆柱，顶部为圆锥，其正视图如右图所示，则这个容器的容积为
（ ）

A．
B．
C．3πm³
D．12πm³

6. 难度：中等

若约束条件为则目标函数z=|x+y+3|的最大值为（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12

7. 难度：中等

李先生忘记了自己电脑的开机密码，但记得密码是由两个3，一个6，一个9组成的四位数，于是，他用
这四个数字随意排成一个四位数输入电脑尝试、那么他打开电脑最多尝试的次数为（ ）
A．64
B．18
C．12
D．6

8. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（ ）
A．3
B．
C．2
D．

9. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁，F₂，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF₁|=2|PF₂|，则双曲线的离心率（ ）
A．（1，3]
B．（1，3）
C．（1，）
D．（1，]

10. 难度：中等

已知函数y=f（x）和y=g（x）在[-2，2]上的图象如下图所示．给出下列四个命题：
①方程f[g（x）]=0有且仅有6个根；
②方程g[f（x）]=0有且仅有3个根；
③方程f[f（x）]=0有且仅有5个根；
④方程g[g（x）]=0有且仅有4个根．
其中正确的命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

11. 难度：中等

二项式的展开式中x³的系数是    （用数字作答）

12. 难度：中等

过点P（1，2）的直线交圆（x-2）²+y²=9于两点A、B，若点P是弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程是     ．

13. 难度：中等

命题p：∃x∈[-1，1]，满足x²+x+1＞a，使命题p为真的实数a的取值范围为    ．

14. 难度：中等

执行右边的程序框图，输出的结果是    ．

15. 难度：中等

等比数列{a_n}中a₂-a₁=9，a₅-a₄=576，则的值等于     ．

16. 难度：中等

过抛物线y²=8x的焦点的弦AB以（4，a）为中点，则|AB|=    ．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}，满足a₁=1，a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2），则{a_n}的通项a_n=    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知复数z₁=cosα+isinα，z₂=cosβ+isinβ，．
求：（1）求cos（α-β）的值；
（2）若，且，求sinα的值．

19. 难度：中等

箱中装有10张大小．重量一样的卡片，每张卡片正面分别标有1到10中的一个号码，正面号码为n的卡片反面标的数字是．（卡片正反面用颜色区分）．
（1）如果任意取出一张卡片，试求正面数字不大于反面数字的概率．
（2）如果同时取出两张卡片，记ξ为两张卡片中出现的四个数字中偶数的个数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望．

20. 难度：中等

如图，四边形ABGH，BCFG，CDEF都是菱形．沿BG把菱形ABGH折起，沿CF把菱形CDEF折起，点A与点E正好重合于点A．
（1）设BF与CG交于点O，求证：AO⊥面BCFG．
（2）求直线AB与平面BCFG所成角的正切值．

21. 难度：中等

已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且，|BC|=2|AC|．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则总存在实数λ，使，请给出证明．

22. 难度：中等

已知函数，其中x＞0，常数a∈R
（1）若函数f（x）在[1，+∞），上是单调函数，求a的取值范围
（2）若函数f（x）在[1，+∞）有最大值（其中e为无理数，约为2.71828），求a的值