《圆锥曲线》2013年山东省淄博市高三数学复习（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

椭圆上有两点P、Q，O为原点，若OP、OQ斜率之积为-，则|OP|²+|OQ|² 为（ ）
A．4
B．20
C．64
D．不确定

2. 难度：中等

过椭圆的焦点F（c，0）的弦中最短弦长是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

θ是任意实数，则方程x²+y²cosθ=4的曲线不可能是（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆

4. 难度：中等

双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（ ）
A．（-∞，0）
B．（-3，0）
C．（-12，0）
D．（-60，-12）

5. 难度：中等

以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图所示，椭圆中心在原点，F是左焦点，直线AB₁与BF交于D，且∠BDB₁=90°，则椭圆的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

过抛物线y=ax²（a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则+等于（ ）
A．2a
B．
C．4a
D．

8. 难度：中等

经过抛物线y²=2px （p＞0）的焦点作一条直线l交抛物线于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则的值为（ ）
A．4
B．-4
C．p²
D．-p²

9. 难度：中等

抛物线y=x²到直线2x-y=4距离最近的点的坐标是（ ）
A．（，）
B．（1，1）
C．（，）
D．（2，4）

10. 难度：中等

与=1（a＞b＞0）的渐近线（ ）
A．重合
B．不重合，但关于x轴对称
C．不重合，但关于y轴对称
D．不重合，但关于直线y=x对称

11. 难度：中等

一个动圆的圆心在抛物线y²=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过定点（ ）
A．（0，2）
B．（0，-2）
C．（2，0）
D．（4，0）

12. 难度：中等

设P是椭圆=1上一点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，则cos∠F₁PF₂的最小值是（ ）
A．-
B．-1
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知F₁、F₂是双曲线=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，PQ是经过F₁且垂直于x轴的双曲线的弦．如果∠PF₂Q=90°，则双曲线的离心率是    ．

14. 难度：中等

已知圆x²+y²-6x-7=0与抛物线y²=2px（p＞0）的准线相切，则抛物线的方程为    ．

15. 难度：中等

点P（8，1）平分双曲线x²-4y²=4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是    ．

16. 难度：中等

点P在以F₁、F₂为焦点的椭圆上运动，则△PF₁F₂的重心G的轨迹方程是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

人造卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点离地面距离为p，远地点离地面距离为q，地球的半径为R．求卫星运行轨道的短轴长．

18. 难度：中等

设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率．已知点到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆方程．

19. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）
①求抛物线方程；
②求△ABS面积的最大值．

20. 难度：中等

已知中心在原点，顶点A₁、A₂在x轴上，离心率e=的双曲线过点P（6，6）．
（1）求双曲线方程．
（2）动直线l经过△A₁PA₂的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l，使G平分线段MN，证明你的结论．

21. 难度：中等

抛物线y²=2px的焦点弦AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N．
求证：
（1）A、O、D三点共线，B、O、C三点共线；
（2）FN⊥AB（F为抛物线的焦点）．

22. 难度：中等

已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且，|BC|=2|AC|．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则总存在实数λ，使，请给出证明．