2006年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，集合M={x|x＞0}，N={x|x²≥x}，则下列关系中正确的是（ ）
A．M∩N∈M
B．M∪N⊆M
C．M∪N=R
D．（∁_UM）∩N=∅

2. 难度：中等

等比数列{a_n}前3项依次为：1，，则实数a的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

为了得到函数y=sin（2x-）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度

4. 难度：中等

若直线l：ax+by=1与圆C：x²+y²=1有两个不同交点，则点P（a，b）与圆C的位置关系是（ ）
A．点在圆上
B．点在圆内
C．点在圆外
D．不能确定

5. 难度：中等

若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A．若α∥β，m⊥α，则m⊥β
B．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
C．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
D．若α∩β=m，n与α、β所成的角相等，则m⊥n

6. 难度：中等

函数g（x）的图象与函数f（x）=lg（x-1）的反函数的图象关于原点对称，则函数g（x）图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若f（x）=ax²+bx+c（a＞0，x∈R），f（-1）=0，则“b＜-2a”是“f（2）＜0”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件

8. 难度：中等

为迎接2008年北京奥运会，某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学．若12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3个不同的代表队，则不同获奖情况种数共有（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

=    ．

10. 难度：中等

在同一时间内，对同一地域，市、县两个气象台预报天气准确的概率分别为、，两个气象台预报准确的概率互不影响，则在同一时间内，至少有一气象台预报准确的概率是    ．

11. 难度：中等

正四棱锥S-ABCD内接于球O；过球心O的一个截面如图，棱锥的底面边长为a，则SC与底面ABCD所成角的大小为    ，球O的表面积为    ．

12. 难度：中等

如图，双曲线C的中心在原点，虚轴两端点分别为B₁、B₂，左顶点和左焦点分别为A、F，若，则双曲线C的离心率为    ．

13. 难度：中等

若函数（a、b∈R）的定义域为R，则3a+b的值为    ．

14. 难度：中等

对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图方式的“分裂”．仿此，5²的“分裂”中最大的数是    ，若m³的“分裂”中最小的数是211，则m的值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量=（1，2sinA），=（sinA，1+cosA），满足∥，b+c=a．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求sin（B+）的值．

16. 难度：中等

如图，直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB．D、E分别为棱C₁C、B₁C₁的中点．
（1）求点B到平面A₁C₁CA的距离；
（2）求二面角B-A₁D-A的大小；
（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A₁BD？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=mx³+nx²（m，n∈R，m≠0），函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处切线与x轴平行，
（1）用关于m的代数式表示n；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）若x₁＞2，记函数y=f（x）的图象在点M（x₁，f（x₁））处的切线l与x轴的交点为（x₂，0），证明：x₂≥3．

18. 难度：中等

如图，平面内的定点F到定直线l的距离为2，定点E满足：||=2且EF⊥l于G，点Q是直线l上一动点，点M满足=0．
（1）建立适当的直角坐标系，求动点P的轨迹方程；
（2）若经过点E的直线l₁与点P的轨迹交于相异两点A、B，令∠AFB=θ，当π≤θ＜π时，求直线l₁的斜率k的取值范围．

19. 难度：中等

函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；③f（）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）在R上是单调增函数；
（3）若a＞b＞c＞0且b²=ac，求证：f（a）+f（c）＞2f（b）．

20. 难度：中等

设函数f（x）的定义域、值域均为R，f（x）的反函数为f^-1（x），且对任意实数x，均有，定义数列a_n：a=8，a₁=10，a_n=f（a_n-1），n=1，2，…．
（1）求证：；
（2）设b_n=a_n+1-2a_n，n=0，1，2，…．求证：（n∈N^*）；
（3）是否存在常数A和B，同时满足①当n=0及n=1时，有成立；②当n=2，3，…时，有成立．如果存在满足上述条件的实数A、B，求出A、B的值；如果不存在，证明你的结论．