2014届江苏省南京市高三9月学情调研理科数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，集合，则           .

2. 难度：简单

命题“”的否定是           .

3. 难度：简单

已知复数满足（为虚数单位），则         .

4. 难度：简单

下图是某算法的流程图，其输出值是           .

5. 难度：简单

口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为           .

6. 难度：中等

若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为           .

7. 难度：简单

已知点在不等式表示的平面区域上运动，则的最大值是       .

8. 难度：简单

曲线在点处的切线方程是             .

9. 难度：简单

在等差数列中，，则数列的前项和           .

10. 难度：中等

如图，在中，、分别为边、的中点. 为边上的点，且，若，，则的值为            .

11. 难度：简单

设函数是定义在上的偶函数，当时，.若，则实数的值为           .

12. 难度：简单

已知四边形是矩形，，，是线段上的动点，是的中点．若为钝角，则线段长度的取值范围是              .

13. 难度：简单

如图，已知过椭圆的左顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为          .

14. 难度：中等

已知函数，若存在实数、、、，满足 ，其中，则的取值范围是            .

二、解答题

15. 难度：中等

在锐角中，、、所对的边分别为、、．已知向量，

，且.

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积．

16. 难度：中等

如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面，为中点．

（1）求证：平面；

（2）若，求证：平面.

17. 难度：中等

如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积.

18. 难度：中等

已知椭圆的中心在坐标原点，右准线为，离心率为．若直线与椭圆交于不同的两点、，以线段为直径作圆.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若圆与轴相切，求圆被直线截得的线段长.

19. 难度：中等

已知函数（为常数）．

（1）当时，求的单调递减区间；

（2）若，且对任意的，恒成立，求实数的取值范围.

20. 难度：中等

已知无穷数列中，、 、、构成首项为2，公差为－2的等差数列，、、、，构成首项为，公比为的等比数列，其中，.

（1）当，，时，求数列的通项公式；

（2）若对任意的，都有成立．

①当时，求的值；

②记数列的前项和为．判断是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

21. 难度：中等

如图，、是圆的半径，且，是半径上一点：延长交圆于点，过作圆的切线交的延长线于点.求证：.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，求实数、的值．

23. 难度：简单

在极坐标系中，求圆上的点到直线的距离的最大值．

24. 难度：简单

解不等式.

25. 难度：中等

在底面边长为2，高为1的正四棱柱中，、分别为、的中点．

（1）求异面直线、所成的角；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

26. 难度：中等

将编号为1，2，3，4的四个小球，分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子中有且仅有一个小球．若小球的编号与盒子的编号相同，得1分，否则得0分．记为四个小球得分总和．

（1）求时的概率；

（2）求的概率分布及数学期望．